Division eines Bruches durch eine ganze Zahl
Wenn wir einen Bruch durch eine ganze Zahl (= kein Bruch!) dividieren, geschieht genau das Umgekehrte wie bei der Multiplikation: Die Zahl gehört automatisch zum Nenner, wir können sie also unter den Bruchstrich stellen und uns ein Mal (*) zwischen der neuen Zahl und dem Nenner denken. Das kommt daher, dass:
Somit sind diese beiden Brüche vollkommen identisch:
Es gibt nun folgende 3 Möglichkeiten, um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren:
a) den Zähler durch die Zahl dividieren
b) den Nenner mit der Zahl multiplizieren
c) a) und b) geschickt kombinieren!
Zur Veranschaulichung je ein Beispiel:
a) Wir teilen 20 durch 5.
b) Wir multiplizieren 7 und 5.
c) Weil :15 dasselbe ist wie *1/15, können wir zuerst übers Kreuz
kürzen. Wir kürzen 20 und 15 mit ihrem ggT (= 5) und multiplizieren
anschliessend die beiden Nenner. So haben wir die Aufgabe sehr elegant gelöst.
Es wäre ebenfalls möglich gewesen, zuerst 7 und 15 zu multiplizieren und danach
20 mit 105 zu kürzen. Doch dieser Weg ist weniger schön, da wir es mit hohen
Zahlen zu tun haben. Und schöne Lösungswege sind immer ein Pluspunkt!
Erste wichtige Lektion: "Durch einen Bruch zu dividieren, ist dasselbe wie mit seinem Kehrwert zu multiplizieren."
Wenn du einen Bruch durch einen anderen Bruch dividieren möchtest, führst du der Reihe nach folgende Schritte aus:
1. Bruch hinter dem Divisionszeichen (:) umkehren und ein Mal (*)
vorne hinschreiben (= den Kehrwert nehmen)
2. übers Kreuz kürzen
3. Zähler mal Zähler
4. Nenner mal Nenner
5. Kontrolle, ob alles gekürzt!
HINWEIS: Die Schritte 2 - 5 sind absolut identisch mit denjenigen der Multiplikation zweier Brüche.
Hier ein Beispiel:
1. Wir drehen den 2. Bruch um und wechseln das Divisionszeichen durch ein Mal aus.
2. Wir kürzen übers Kreuz:
3. und 4. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner:
5. Wir stellen fest, dass man das Ergebnis nicht mehr weiter kürzen kann und dass wir somit bereits am Anfang alles zu Kürzende entdeckt haben!
