Gleichungen mit BruchtermenWenn du in einer Gleichung Bruchterme vorfindest, musst du zuerst die Nenner loswerden. Dies erreichst du dadurch, dass du die GESAMTE Gleichung mit dem kgV aller Nenner multiplizierst. Sobald die Nenner verschwunden sind, kannst du die Gleichung ganz normal auflösen. Zur Erinnerung das Kapitel Gleichungen:
Nun existiert aber ein gewisser Typ von Fallen. Wenn wir nämlich am Anfang mit dem kgV aller Nenner multiplizieren, müssen wir darauf achten, dass wir nicht mit 0 multiplizieren, denn das ist VERBOTEN. Meist ist die gesuchte Variable jedoch mehrfach vorhanden in den Nennern, sodass wir nicht direkt sehen, ob ein Faktor gleich 0 ist. Deshalb müssen wir zu Beginn, wenn wir multiplizieren, eine so genannte "verbotene Liste" erstellen. Wenn wir später die gesamte Gleichung aufgelöst haben und eine unserer Lösungen in der verbotenen Liste aufgeführt wird, ist die Lösung gestrichen!
Zunächst faktorisieren wir, um danach das kgV bestimmen zu können.
Das kgV ist (x + 1)(x - 3)(x + 2). Wenn wir nun die gesamte Gleichung mit diesem kgV multiplizieren, darf es nicht 0 sein. Und wann ist es 0? Wenn EINER DER FAKTOREN 0 ist. Es darf folglich keiner der Faktoren 0 sein. Wir müssen uns nun für jeden Faktor einzeln überlegen, wann er 0 sein kann.
(x + 1) ist 0 wenn x = -1.
(x - 3) ist 0 wenn x = 3.
(x + 2) ist 0 wenn x = -2.
Diese 3 Zahlen gehören nun auf die "verbotene Liste": x
{-2; -1; 3}
Wenn wir nun den ersten Bruchterm mit dem kgV multiplizieren,
bedeutet das, dass sich diejenigen Faktoren, die bereits im Nenner vorhanden
sind, WEGSTREICHEN. Das heisst der Bruchstrich fällt weg und aus unseren Brüchen
werden normale Zahlen. Diejenigen Faktoren hingegen, welche nicht vorhanden sind
im Nenner, müssen wir HINZUFÜGEN.
Das heisst, der erste Bruchterm, den wir sehen, verwandelt sich in (x - 3)(x +
2), denn (x - 1) ist bereits vorhanden und streicht sich weg.
(x - 3)(x + 2) + (x + 1)(x + 2) = (x + 1)(x - 3) + 4 (x + 2) / ausmultiplizieren
x2 - x - 6 + x2 + 3x + 2 = x2 - 2x - 3 + 4x + 8 / zusammenfassen
2x2 + 2x - 4 = x2 + 2x + 5 / - x2 - 2x - 5
x2 - 9 = 0 / faktorisieren
(x + 3)(x - 3) = 0
x = 3 oder x = -3
Aber nun aufgepasst! Jetzt müssen wir prüfen, ob keine dieser
beiden Lösungen in der "verbotenen Liste" aufgeführt wird. Denn die "verbotene
Liste" enthält alle UNMÖGLICHEN Lösungen. Da die "verbotene Liste" x
{-2; -1; 3} war, wissen wir, dass 3 keine Lösung sein kann! Das bedeutet, die
Gleichung hat nur eine Lösung und zwar x = -3.
Die Ungleichungen sind etwas komplizierter. Das Problem besteht nämlich darin, dass man bei einer Ungleichung beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen drehen muss. (Dasselbe gilt übrigens auch für die Division durch eine negative Zahl, doch das tritt bei den Bruchtermen nicht auf.) Aber wie weiss man ob die entsprechende Zahl negativ ist, wenn darin die gesuchte Variable vorkommt, die wir nicht kennen?! Deshalb müssen wir eine Fallunterscheidung vornehmen, welche den Definitionsbereich und die Lösungsmenge betrifft. Wir unterscheiden folgende Fälle:
1. Fall: Wir multiplizieren mit etwas Positivem, das
Ungleichheitszeichen bleibt gleich.
2. Fall: Wir multiplizieren mit etwas Negativem, das Ungleichheitszeichen wird
umgedreht.
In beiden Fällen sind Lösungen möglich. Die Schluss-Lösung besteht aus allen Lösungen, die in einem der beiden Fälle zu finden sind.
Doch bevor wir beginnen eine kleine Repetition:
Um den Nenner loszuwerden, müssen wir die ganze Ungleichung mit (x + 2) multiplizieren. Nun die Fallunterscheidung, da wir nicht wissen, ob wir es mit etwas Positivem oder mit etwas Negativem zu tun haben:
Definitionsbereich:
1. Fall: x + 2 > 0 (positiv) oder umgeformt: x > -2
2. Fall: x + 2 < 0 (negativ) oder umgeformt: x < -2
TIPP: Den Fall x + 2 = 0 lassen wir bewusst weg, da wir nicht mit 0 multiplizieren dürfen!
Jetzt können wir die Ungleichung auflösen in der Annahme, dass (x + 2) positiv ist. Um anschliessend auch den 2. Fall abzudecken, müssen wir lediglich ganz am Schluss das Ungleichheitszeichen drehen.
7x - 6 < - 1 (x + 2) / ausmultiplizieren
7x - 6 < -x -2 / + x + 6
8x < 4 / :8
x < 0.5
Lösungsmenge:
1. Fall x < 0.5 (Wenn wir das Ungleichheitszeichen NICHT gedreht haben.)
2. Fall x > 0.5 (Wenn wir das Ungleichheitszeichen gedreht haben.)
Für die Schluss-Lösung suchen wir alle Stellen, in denen entweder
die pinkigen oder die blauen Pfeile übereinstimmen. Dazu vergleichen wir jeweils
den Strahl des Definitionsbereiches mit dem Strahl der Lösungsmenge.
Bei den pinkigen Pfeilen finden wir einen Bereich zwischen -2 und 0.5, welcher
bei beiden Darstellungen markiert ist. Die blauen Pfeile stimmen hingegen nie
überein. Die Schluss-Lösung:
-2 < x < 0.5
