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Gleichungen und Ungleichungen

Addition und Subtraktion

 

Inhalt

Gleichungen mit Bruchtermen
Beispiel
Ungleichungen mit Bruchtermen
Beispiel
Aufgaben

Inhalt

 

Gleichungen mit Bruchtermen

Wenn du in einer Gleichung Bruchterme vorfindest, musst du zuerst die Nenner loswerden. Dies erreichst du dadurch, dass du die GESAMTE Gleichung mit dem kgV aller Nenner multiplizierst. Sobald die Nenner verschwunden sind, kannst du die Gleichung ganz normal auflösen. Zur Erinnerung das Kapitel Gleichungen:

Gleichungen

Nun existiert aber ein gewisser Typ von Fallen. Wenn wir nämlich am Anfang mit dem kgV aller Nenner multiplizieren, müssen wir darauf achten, dass wir nicht mit 0 multiplizieren, denn das ist VERBOTEN. Meist ist die gesuchte Variable jedoch mehrfach vorhanden in den Nennern, sodass wir nicht direkt sehen, ob ein Faktor gleich 0 ist. Deshalb müssen wir zu Beginn, wenn wir multiplizieren, eine so genannte "verbotene Liste" erstellen. Wenn wir später die gesamte Gleichung aufgelöst haben und eine unserer Lösungen in der verbotenen Liste aufgeführt wird, ist die Lösung gestrichen!

 

Ein Beispiel

Zunächst faktorisieren wir, um danach das kgV bestimmen zu können.

Das kgV ist (x + 1)(x - 3)(x + 2). Wenn wir nun die gesamte Gleichung mit diesem kgV multiplizieren, darf es nicht 0 sein. Und wann ist es 0? Wenn EINER DER FAKTOREN 0 ist. Es darf folglich keiner der Faktoren 0 sein. Wir müssen uns nun für jeden Faktor einzeln überlegen, wann er 0 sein kann.

(x + 1) ist 0 wenn x = -1.
(x - 3) ist 0 wenn x = 3.
(x + 2) ist 0 wenn x = -2.

Diese 3 Zahlen gehören nun auf die "verbotene Liste": x {-2; -1; 3}

Wenn wir nun den ersten Bruchterm mit dem kgV multiplizieren, bedeutet das, dass sich diejenigen Faktoren, die bereits im Nenner vorhanden sind, WEGSTREICHEN. Das heisst der Bruchstrich fällt weg und aus unseren Brüchen werden normale Zahlen. Diejenigen Faktoren hingegen, welche nicht vorhanden sind im Nenner, müssen wir HINZUFÜGEN.
Das heisst, der erste Bruchterm, den wir sehen, verwandelt sich in (x - 3)(x + 2), denn (x - 1) ist bereits vorhanden und streicht sich weg.

(x - 3)(x + 2) + (x + 1)(x + 2) = (x + 1)(x - 3) + 4 (x + 2)   / ausmultiplizieren

x2 - x - 6 + x2 + 3x + 2 = x2 - 2x - 3 + 4x + 8   / zusammenfassen

2x2 + 2x - 4 = x2 + 2x + 5   / - x2 - 2x - 5

x2 - 9 = 0   / faktorisieren

(x + 3)(x - 3) = 0

x = 3 oder x = -3

Aber nun aufgepasst! Jetzt müssen wir prüfen, ob keine dieser beiden Lösungen in der "verbotenen Liste" aufgeführt wird. Denn die "verbotene Liste" enthält alle UNMÖGLICHEN Lösungen. Da die "verbotene Liste" x {-2; -1; 3} war, wissen wir, dass 3 keine Lösung sein kann! Das bedeutet, die Gleichung hat nur eine Lösung und zwar x = -3.


Ungleichungen mit Bruchtermen

Die Ungleichungen sind etwas komplizierter. Das Problem besteht nämlich darin, dass man bei einer Ungleichung beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen drehen muss. (Dasselbe gilt übrigens auch für die Division durch eine negative Zahl, doch das tritt bei den Bruchtermen nicht auf.) Aber wie weiss man ob die entsprechende Zahl negativ ist, wenn darin die gesuchte Variable vorkommt, die wir nicht kennen?! Deshalb müssen wir eine Fallunterscheidung vornehmen, welche den Definitionsbereich und die Lösungsmenge betrifft. Wir unterscheiden folgende Fälle:

1. Fall: Wir multiplizieren mit etwas Positivem, das Ungleichheitszeichen bleibt gleich.
2. Fall: Wir multiplizieren mit etwas Negativem, das Ungleichheitszeichen wird umgedreht.

In beiden Fällen sind Lösungen möglich. Die Schluss-Lösung besteht aus allen Lösungen, die in einem der beiden Fälle zu finden sind.

Doch bevor wir beginnen eine kleine Repetition:

Ungleichungen

 

Ein Beispiel

Um den Nenner loszuwerden, müssen wir die ganze Ungleichung mit (x + 2) multiplizieren. Nun die Fallunterscheidung, da wir nicht wissen, ob wir es mit etwas Positivem oder mit etwas Negativem zu tun haben:

Definitionsbereich:

1. Fall:   x + 2 > 0   (positiv)   oder umgeformt:   x > -2 

2. Fall:   x + 2 < 0   (negativ)   oder umgeformt:   x < -2

TIPP: Den Fall x + 2 = 0 lassen wir bewusst weg, da wir nicht mit 0 multiplizieren dürfen!

Jetzt können wir die Ungleichung auflösen in der Annahme, dass (x + 2) positiv ist. Um anschliessend auch den 2. Fall abzudecken, müssen wir lediglich ganz am Schluss das Ungleichheitszeichen drehen.

7x - 6 < - 1 (x + 2)   / ausmultiplizieren

7x - 6 < -x -2   / + x + 6

8x < 4    / :8

x < 0.5

 

Lösungsmenge:

1. Fall   x < 0.5   (Wenn wir das Ungleichheitszeichen NICHT gedreht haben.)

2. Fall   x > 0.5   (Wenn wir das Ungleichheitszeichen gedreht haben.)

Für die Schluss-Lösung suchen wir alle Stellen, in denen entweder die pinkigen oder die blauen Pfeile übereinstimmen. Dazu vergleichen wir jeweils den Strahl des Definitionsbereiches mit dem Strahl der Lösungsmenge.
Bei den pinkigen Pfeilen finden wir einen Bereich zwischen -2 und 0.5, welcher bei beiden Darstellungen markiert ist. Die blauen Pfeile stimmen hingegen nie überein. Die Schluss-Lösung:

   -2 < x < 0.5   

 

Aufgaben

Löse die Gleichung/Ungleichung!

TIPP: Achte auf verbotene Lösungen.

a)

b)

TIPP für b): Wenn es in einer Ungleichung mehrere verbotene Werte gibt, wechseln die Pfeile im Definitionsbereich jedes Mal (bei jedem verbotenen Wert)! Um herauszufinden, wann die Pfeile wo sind, nimm einen Probewert.

 

Lösung

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