Zurück zur Übersicht

der grösste gemeinsame Teiler

das kleinste gemeinsame Vielfache

 

Was ist der ggT?

Zwei (oder mehr) verschiedene natürliche Zahlen haben immer einen grössten gemeinsamen Teiler.
Diesen nennt man abgekürzt den "ggT".


Die Ermittlung des ggTs durch Betrachten der Teiler

Gesucht ist der ggT von 18 und 24. Wir schreiben alle Teiler von 18 und 24 auf und schauen, welches der grösste Teiler ist, der bei beiden Zahlen aufgezählt wird.

T18 = {1,2,3,6,9,18}

T24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}

Der grösste gemeinsame Teiler von 18 und 24 ist 6.


Die Ermittlung des ggTs durch Primfaktorzerlegung

Bei 18 und 24 ist die oben gezeigte Methode bestens geeignet. Doch wer möchte gerne alle Teiler von 1292 suchen? Deshalb sollte man die Ermittlung des ggTs auch mit der Primfaktorzerlegung meistern können. Dazu zerlegt man zuerst beide Zahlen in ihre Primfaktoren.

18  =  2 * 9  =  2 * 32

24  =  8 * 3  =  23 * 3

Um den ggT zu bilden, sammeln wir nun alle Primfaktoren, die in BEIDEN Zahlen vorkommen, und zwar immer in der kleinsten vorkommenden Potenz.

Die 2 tritt in 18 nur in der 1.Potenz auf. Dasselbe gilt für die 3 in der Zahl 24. Also können wir nur 2 * 3 = 6 nehmen.

Somit ist 6 der ggT von 18 und 24.

 

1.TIPP: Wenn 2 Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren haben, ist der ggT = 1.

2.TIPP: Das Ganze kannst du auch bei 3 oder mehr Zahlen anwenden, um ihren ggT zu finden.

 

Aufgaben

Ermittle den ggT jeweils mit Hilfe der Primfaktorzerlegung. Wenn du dem Resultat nicht traust, darfst du es gerne durch Betrachten der Teiler kontrollieren. Aber das wird hier nicht verlangt.

a) ggT von 36 und 60

b) ggT von 16 und 25

c) ggT von 55 und 110

d) ggT von 428 und 429

e) ggT von 3960, 1680 und 5400

f) ggT von 28 * 34 * 72 * 195 und 26 * 38 * 7 * 192

 

Lösung