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Lösung

der grösste gemeinsame Teiler

das kleinste gemeinsame Vielfache

 

a) 36  =  3 * 12  =  3 * 3 * 4  =  22 * 32
60  =  10 * 6  =  2 * 5 * 2 * 3  =  22 * 3 * 5

Für den ggT nehmen wir 22 * 3 = 12.

 

b) 16  =  4 * 4  =  2 * 2 * 2 * 2  =  24
25  =  52

16 und 25 haben keine gemeinsamen Primfaktoren. Also ggT = 1.

 

c) 55 ist genau die Hälfte von 110. Das heisst, 110 ist durch 55 teilbar, also auch durch alle Primfaktoren von 55. Somit können wir direkt sagen:

Der ggT von 55 und 110 ist 55.

 

d) Hier kann man ohne zu rechnen sagen: Der ggT von 428 und 429 ist 1.

Denn wenn 2 verschiedene Zahlen einen bestimmten ggT haben, sind beide Vielfachen davon. (Wenn eine Zahl einen Teiler besitzt, ist sie selbst ein Vielfaches davon.) Da die 2 Zahlen nicht identisch sind, müssen die Beiden VERSCHIEDENE Vielfachen von ihrem ggT sein. Das heisst, sie haben mindestens einen Abstand von der Grösse ihres ggTs. Da 428 und 429 nur den Unterschied 1 haben, kann ihr ggT nicht grösser als 1 sein.

 

e) Jetzt das Ganze mit 3 Zahlen:

3960  =  10 * 396  =  2 * 5 * 9 * 44  =  2 * 5 * 32 * 22 * 11  =  23 * 32 * 5 * 11
1680  =  10 * 168  =  2 * 5 * 4 * 42  =  2 * 5 * 22 * 2 * 21  =  2 * 5 * 22 * 2 * 3 * 7  =  24 * 3 * 5 * 7
5400  =  100 * 54  =  10 * 10 * 6 * 9  =  2 * 5 * 2 * 5 * 2 * 3 * 32  =  23 * 33 * 52

Für den ggT nehmen wir 23 * 3 * 5 = 120.

 

f) Hier wurde die Primfaktorzerlegung bereits für uns gemacht. Wichtig ist jetzt, dass man für den ggT immer die kleinste auftretende Potenz der einzelnen Primfaktoren nimmt!

Der ggT von 28 * 34 * 72 * 195 und 26 * 38 * 7 * 192 ist 26 * 34 * 7 * 192. Ausgerechnet wäre das 13'099'968.