Eine Gleichung ist eine mathematische Formel, die symbolisch zwei Werte oder Terme gleichsetzt. Das Wichtigste einer Gleichung ist das Gleichheitszeichen. Ohne "=" gibt es keine Gleichung.
Man kann sich eine Gleichung auch als eine Waage vorstellen, bei der beide Seiten genau gleich schwer sind. Es herrscht Gleichgewicht.
Wenn du noch mehr wissen möchtest, kannst du auch auf der Website Wikipedia nachschauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung
Die Grundmenge
Wenn man eine Gleichung aufstellt, muss man die Grundmenge
festlegen, in welcher die Lösung gesucht werden soll. Hierzu folgende 5
Grundmengen:
= die Menge der natürlichen Zahlen (alle positiven, ganzen Zahlen = 1, 2, 3, 4,
5, ...)
= die Menge der ganzen Zahlen (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)
= die Menge der rationalen Zahlen (alle Brüche
,
wobei a und b ganze Zahlen sind und b nicht 0 ist)
= die Menge der reellen Zahlen (alle rationalen Zahlen und alle irrationalen
Zahlen = z.Bsp. 3.14159265...)
= die Menge der komplexen Zahlen (alle Zahlen, die in der Form
geschrieben werden können, wobei i die imaginäre Einheit bezeichnet und a und b
reelle Zahlen sind)
= Pi = eine typische irrationale Zahl, gehört zu den reellen Zahlen
Was ist eine Lösung?
Wenn eine Zahl, die aus der vereinbarten Grundmenge stammt, in
eine Gleichung eingesetzt wird und so dazu führt, dass die Gleichung stimmt,
nennen wir diese Zahl eine Lösung.
Alle Lösungen einer Gleichung zusammengenommen bilden die Lösungsmenge.
"eine Gleichung lösen" = schrittweise die gegebene Gleichung vereinfachen und umformen, bis die Lösungsmenge direkt abgelesen werden kann.
Äquivalenz-Umformungen
Umformungen (=Veränderungen) einer Gleichung, welche die
Lösung(en) der Gleichung nicht verändern, heissen Äquivalenz-Umformungen.
Alle Veränderungen, die das Gleichgewicht der Waage nicht stören,
sind Äquivalenz-Umformungen.
Erlaubt ist:
Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens...
... eine bestimmte Zahl (oder einen Term) zu addieren/subtrahieren.
... mit einer bestimmten Zahl (oder einem Term) zu multiplizieren/dividieren.
Verboten ist:
Eine Gleichung mit 0 zu multiplizieren oder durch 0 zu dividieren!
Das Lösen einer Gleichung
15 - 3 * (2x + 5) = 16 * (x - 1) - 2 * (x - 4)
Die Unbekannte in dieser Gleichung ist x (=die Lösungsmenge der Gleichung). Also ist es unser oberstes Ziel, x herauszufinden. Um dies zu erreichen, müssen wir alle x auf die eine Seite des Gleichheitszeichens bringen und alle Zahlen auf die andere Seite. Da wir bei der Gleichung, die wir vor uns haben, aber nicht genau wissen wie viele Zahlen und wie viele x wir haben, müssen wir zuerst alle Klammern lösen:
15 - 6x - 15 = 16x - 16 - 2x + 8
TIPP: Falls du noch Probleme hast beim Lösen von Klammern, schau dir das Kapitel "Klammern lösen" an!
Nun verschieben wir mit den erlaubten Operationen die x und die
Zahlen so, dass wir auf einer Seite des Gleichheitszeichens nur noch x haben und
auf der anderen nur noch "nackte" Zahlen.
Hier noch ein Tipp: (zum Beispiel) bei 6x ist 6 keine eigentliche "Zahl", die
wir von den x trennen müssen. Durch das x gehört 6x automatisch zu der Gruppe
der x.
Am schönsten ist eine Gleichung, wenn wir alle x links haben und alle Zahlen rechts. Aber da man eine Gleichung auch umdrehen kann (a = 3 ist dasselbe wie 3 = a), muss man darauf am Anfang noch nicht achten. Viel wichtiger ist, dass man die x dorthin verschiebt, wo es am Anfang MEHR davon hat, denn so muss man nicht mit einem Minus kämpfen.
ACHTUNG: Alles, was du nun mit der Gleichung anstellst, machst du
AUF BEIDEN SEITEN!
= x