Gleichungen |
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Was ist eine Gleichung? Grundmenge Was ist eine Lösung? Äquivalenz-Umformungen Lösen einer Gleichung Aufgaben |
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Eine Gleichung ist eine mathematische Formel, die symbolisch zwei Werte oder Terme gleichsetzt. Das Wichtigste einer Gleichung ist das Gleichheitszeichen. Ohne "=" gibt es keine Gleichung. Man kann sich eine Gleichung auch als eine Waage vorstellen, bei der beide Seiten genau gleich schwer sind. Es herrscht Gleichgewicht.
Wenn du noch mehr wissen möchtest, kannst du auch auf der Website Wikipedia nachschauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung
Alle Lösungen einer Gleichung zusammengenommen bilden die Lösungsmenge. "eine Gleichung lösen" = schrittweise die gegebene Gleichung vereinfachen und umformen, bis die Lösungsmenge direkt abgelesen werden kann.
Alle Veränderungen, die das Gleichgewicht der Waage nicht stören,
sind Äquivalenz-Umformungen. Erlaubt ist: Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens... ... eine bestimmte Zahl (oder einen Term) zu addieren/subtrahieren. ... mit einer bestimmten Zahl (oder einem Term) zu multiplizieren/dividieren.
Eine Gleichung mit 0 zu multiplizieren oder durch 0 zu dividieren!
Die Unbekannte in dieser Gleichung ist x (=die Lösungsmenge der Gleichung). Also ist es unser oberstes Ziel, x herauszufinden. Um dies zu erreichen, müssen wir alle x auf die eine Seite des Gleichheitszeichens bringen und alle Zahlen auf die andere Seite. Da wir bei der Gleichung, die wir vor uns haben, aber nicht genau wissen wie viele Zahlen und wie viele x wir haben, müssen wir zuerst alle Klammern lösen: 15 - 6x - 15 = 16x - 16 - 2x + 8 TIPP: Falls du noch Probleme hast beim Lösen von Klammern, schau dir das Kapitel "Klammern lösen" an!
Nun verschieben wir mit den erlaubten Operationen die x und die
Zahlen so, dass wir auf einer Seite des Gleichheitszeichens nur noch x haben und
auf der anderen nur noch "nackte" Zahlen. Am schönsten ist eine Gleichung, wenn wir alle x links haben und alle Zahlen rechts. Aber da man eine Gleichung auch umdrehen kann (a = 3 ist dasselbe wie 3 = a), muss man darauf am Anfang noch nicht achten. Viel wichtiger ist, dass man die x dorthin verschiebt, wo es am Anfang MEHR davon hat, denn so muss man nicht mit einem Minus kämpfen.
ACHTUNG: Alles, was du nun mit der Gleichung anstellst, machst du
AUF BEIDEN SEITEN! |
15 - 6x - 15 = 16x - 16 - 2x + 8 |
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ursprüngliche Gleichung: 15 - 3 * (2x + 5) = 16 * (x - 1) - 2 * (x - 4) x =
15 - 3 * (2 *
Das Wichtigste am Kontrollieren ist, dass man "falsche" Lösungen enttarnen kann. Manchmal wirst du nämlich Lösungen erhalten, die du in der Gleichung gar nicht einsetzen darfst. (Gründe: eine Wurzel kann nicht negativ sein oder der Nenner eines Bruches darf nie 0 sein.)
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HINWEIS für alle Aufgaben: Die Grundmenge
ist
a) 57 - 2 (x + 21) = 23 - 2 (x + 4) b) 10 (x - 13) = 120 TIPP für b): Du kannst die Gleichung bereits ganz am Anfang vereinfachen! c) x - 5 ( x + 5 [ x - 5 { x + 5 } ] ) = 49 d)
TIPP für d): Multipliziere zuerst mit dem kgV aller Nenner, so dass diese verschwinden! das kleinste gemeinsame Vielfache e) Ein Produkt ergibt 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Nütze dies geschickt aus, ohne zu multiplizieren! x (x - 3) (2x - 7) = 0 f und g) Welches ist die gesuchte Zahl? f) Das Fünffache einer Zahl ist um 36 kleiner als das Achtfache. g) Ich zähle 5 aufeinander folgende UNgerade natürliche Zahlen zusammen und erhalte 125. Welches war die Kleinste?
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