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Gleichungen

Ungleichungen

 

Inhalt

Was ist eine Gleichung?
Grundmenge
Was ist eine Lösung?
Äquivalenz-Umformungen
Lösen einer Gleichung
Aufgaben

Inhalt

 

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine mathematische Formel, die symbolisch zwei Werte oder Terme gleichsetzt. Das Wichtigste einer Gleichung ist das Gleichheitszeichen. Ohne "=" gibt es keine Gleichung.

Man kann sich eine Gleichung auch als eine Waage vorstellen, bei der beide Seiten genau gleich schwer sind. Es herrscht Gleichgewicht.

Wenn du noch mehr wissen möchtest, kannst du auch auf der Website Wikipedia nachschauen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung

 

Die Grundmenge

Wenn man eine Gleichung aufstellt, muss man die Grundmenge festlegen, in welcher die Lösung gesucht werden soll. Hierzu folgende 5 Grundmengen:

= die Menge der natürlichen Zahlen (alle positiven, ganzen Zahlen = 1, 2, 3, 4, 5, ...)

= die Menge der ganzen Zahlen (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)

= die Menge der rationalen Zahlen (alle Brüche , wobei a und b ganze Zahlen sind und b nicht 0 ist)

= die Menge der reellen Zahlen (alle rationalen Zahlen und alle irrationalen Zahlen = z.Bsp. 3.14159265...)

= die Menge der komplexen Zahlen (alle Zahlen, die in der Form geschrieben werden können, wobei i die imaginäre Einheit bezeichnet und a und b reelle Zahlen sind)

= Pi = eine typische irrationale Zahl, gehört zu den reellen Zahlen

 

Was ist eine Lösung?

Wenn eine Zahl, die aus der vereinbarten Grundmenge stammt, in eine Gleichung eingesetzt wird und so dazu führt, dass die Gleichung stimmt, nennen wir diese Zahl eine Lösung.

Alle Lösungen einer Gleichung zusammengenommen bilden die Lösungsmenge.

"eine Gleichung lösen" = schrittweise die gegebene Gleichung vereinfachen und umformen, bis die Lösungsmenge direkt abgelesen werden kann.

 

Äquivalenz-Umformungen

Umformungen (=Veränderungen) einer Gleichung, welche die Lösung(en) der Gleichung nicht verändern, heissen Äquivalenz-Umformungen.

Alle Veränderungen, die das Gleichgewicht der Waage nicht stören, sind Äquivalenz-Umformungen.
 

Erlaubt ist:

Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens...

... eine bestimmte Zahl (oder einen Term) zu addieren/subtrahieren.

... mit einer bestimmten Zahl (oder einem Term) zu multiplizieren/dividieren.


Verboten ist:

Eine Gleichung mit 0 zu multiplizieren oder durch 0 zu dividieren!

 

Das Lösen einer Gleichung

15 - 3 * (2x + 5) = 16 * (x - 1) - 2 * (x - 4)

Die Unbekannte in dieser Gleichung ist x (=die Lösungsmenge der Gleichung). Also ist es unser oberstes Ziel, x herauszufinden. Um dies zu erreichen, müssen wir alle x auf die eine Seite des Gleichheitszeichens bringen und alle Zahlen auf die andere Seite. Da wir bei der Gleichung, die wir vor uns haben, aber nicht genau wissen wie viele Zahlen und wie viele x wir haben, müssen wir zuerst alle Klammern lösen:

15 - 6x - 15 = 16x - 16 - 2x + 8

TIPP: Falls du noch Probleme hast beim Lösen von Klammern, schau dir das Kapitel "Klammern lösen" an!

Klammern lösen

Nun verschieben wir mit den erlaubten Operationen die x und die Zahlen so, dass wir auf einer Seite des Gleichheitszeichens nur noch x haben und auf der anderen nur noch "nackte" Zahlen.
Hier noch ein Tipp: (zum Beispiel) bei 6x ist 6 keine eigentliche "Zahl", die wir von den x trennen müssen. Durch das x gehört 6x automatisch zu der Gruppe der x.

Am schönsten ist eine Gleichung, wenn wir alle x links haben und alle Zahlen rechts. Aber da man eine Gleichung auch umdrehen kann (a = 3 ist dasselbe wie 3 = a), muss man darauf am Anfang noch nicht achten. Viel wichtiger ist, dass man die x dorthin verschiebt, wo es am Anfang MEHR davon hat, denn so muss man nicht mit einem Minus kämpfen.

ACHTUNG: Alles, was du nun mit der Gleichung anstellst, machst du AUF BEIDEN SEITEN!
 

15 - 6x - 15 = 16x - 16 - 2x + 8
-6x = 14x - 8
0 = 20x - 8

8 = 20x

8/20 = = x
x =


Wir fassen auf beiden Seiten zusammen.
Da es auf der rechten Seite mehr x hat, wollen wir alle x nach rechts bringen.
   Also müssen wir die -6x verschieben. Wir rechnen auf beiden Seiten +6x.
Die Zahlen müssen nun auf die andere Seite, also nach links.
   Also verschieben wir -8 nach links und rechnen auf beiden Seiten +8.
Da wir nur x wollen, teilen wir durch 20 und kürzen den Bruch.
Weil die x links schöner sind, drehen wir die Gleichung um und sind fertig.

 
Um die Lösung(en) zu kontrollieren, kannst du die Resultate einfach in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und testen ob die Gleichung wirklich stimmt! Es ist ratsam diesen Test am Schluss noch durchzuführen. Meist geht es sehr schnell:

ursprüngliche Gleichung:

15 - 3 * (2x + 5) = 16 * (x - 1) - 2 * (x - 4)

x = einsetzen:

15 - 3 * (2 * + 5) = 16 * ( - 1) - 2 * ( - 4)
15 - 3 * (4/5 + 25/5) = 16 * (-3/5) - 2 * (-18/5)
15 - 3 * (29/5) = -48/5 + 36/5
75/5 - 87/5 = -48/5 + 36/5
-12/5 = -12/5 und das stimmt.

Das Wichtigste am Kontrollieren ist, dass man "falsche" Lösungen enttarnen kann. Manchmal wirst du nämlich Lösungen erhalten, die du in der Gleichung gar nicht einsetzen darfst. (Gründe: eine Wurzel kann nicht negativ sein oder der Nenner eines Bruches darf nie 0 sein.)

 

 

Aufgaben

HINWEIS für alle Aufgaben: Die Grundmenge ist .

a) 57 - 2 (x + 21) = 23 - 2 (x + 4)

b) 10 (x - 13) = 120

TIPP für b): Du kannst die Gleichung bereits ganz am Anfang vereinfachen!

c) x - 5 ( x + 5 [ x - 5 { x + 5 } ] ) = 49

d)

TIPP für d): Multipliziere zuerst mit dem kgV aller Nenner, so dass diese verschwinden!

das kleinste gemeinsame Vielfache

e) Ein Produkt ergibt 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Nütze dies geschickt aus, ohne zu multiplizieren!

x (x - 3) (2x - 7) = 0

f und g) Welches ist die gesuchte Zahl?

f) Das Fünffache einer Zahl ist um 36 kleiner als das Achtfache.

g) Ich zähle 5 aufeinander folgende UNgerade natürliche Zahlen zusammen und erhalte 125. Welches war die Kleinste?

 

Lösung

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