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Lösung

Ungleichungen

a) 57 - 2 (x + 21) = 23 - 2 (x + 4)
 

57 - 2x - 42 = 23 - 2x - 8
15 - 2x = 15 - 2x
-2x = -2x

Klammern auflösen und auf beiden Seiten zusammenfassen
-15
 

Hier haben wir einen Spezialfall vor uns. Wir können die x nicht auf eine Seite bringen! Die Gleichung -2x = -2x stimmt für alle Zahlen, die wir einsetzen! Somit ist die Aufgabe unlösbar.

Entweder schreibst du Lösungsmenge L = . (jede Zahl ist eine Lösung)

Oder du schreibst L = {}. Dies steht für die leere Menge und heisst, es existiert keine Lösung.

Setze nun eine beliebige Zahl in die ursprüngliche Gleichung ein und du wirst sehen, dass es stimmt!

b) 10 (x - 13) = 120
 

(x - 13) = 12

x = 25 

Um die Gleichung bereits am Anfang zu vereinfachen, teilen wir sofort durch 10.
+13
 

Sehr schnell getestet:

10 (25 - 13) = 120
10 * 12 = 120
120 = 120, das stimmt.

c) Von innen:
 

x - 5 ( x + 5 [ x - 5 { x + 5 } ] ) = 49
x - 5 ( x + 5 [ x - 5x - 25 ] ) = 49
x - 5 ( x + 5 [ - 4x - 25 ] ) = 49
x - 5 ( x - 20x - 125 ) = 49
x - 5 ( - 19x - 125 ) = 49
x + 95x + 625 = 49
96x + 625 = 49
96x = -576

x = -6

die Aufgabe
Wir ändern die Vorzeichen, multiplizieren mit 5 und lösen die {} auf.
Wir fassen die x in den [] zusammen.
Wir multiplizieren mit 5 und lösen die [] auf.
Wir fassen die x in den () zusammen.
Wir ändern die Vorzeichen, multiplizieren mit 5 und lösen die () auf.
Wir fassen auf beiden Seiten zusammen.
Da wir nur links x haben, wollen wir die Zahlen nach rechts bringen.
   Also möchten wir die 625 verschieben. Wir rechnen auf beiden Seiten -625.
Wir teilen durch 96 und erhalten die Lösung.

x hat nichts = x
x hat ein Minus und ein *5 = -5x
x hat ein Plus und ein Minus und 2 mal ein *5 = -25x
x hat ein Plus und 2 Minus, welche sich aufheben, und 3 mal ein *5 = 125x
5 hat ein Plus und 2 Minus, welche sich aufheben, und 3 mal ein *5 = 625
49 hat nichts = 49

zusammengefasst: x - 5x - 25x + 125x + 625 = 49
 

96x + 625 = 49
96x = -576

x = -6

Wir fassen auf beiden Seiten zusammen.
Da wir nur links x haben, wollen wir die Zahlen nach rechts bringen.
   Also möchten wir die 625 verschieben. Wir rechnen auf beiden Seiten -625.
Wir teilen durch 96 und erhalten die Lösung.

Kontrolle:

-6 - 5 ( -6 + 5 [ -6 - 5 { -6 + 5 } ] ) = 49
-6 - 5 ( -6 + 5 [ -6 - 5 { -1 } ] ) = 49
-6 - 5 ( -6 + 5 [ -6 + 5 ] ) = 49
-6 - 5 ( -6 + 5 [ -1 ] ) = 49
-6 - 5 ( -6 - 5 ) = 49
-6 - 5 ( -11 ) = 49
-6 + 55 = 49
49 = 49, und das stimmt!

d)

Wir multiplizieren zuerst mit dem kgV aller Nenner, um diese wegzukriegen.
Das kgV von 3, 6 und 2 ist 6. Also multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit 6.

2 (4x - 5) - (2x - 1) = 3x - 6
 

8x - 10 - 2x + 1 = 3x - 6
6x - 9 = 3x - 6
3x - 9 = -6
3x = 3
x = 1

Klammern auflösen und auf beiden Seiten zusammenfassen
-3x
+9
:3
 

2 (4 - 5) - (2 - 1) = 3 - 6
2 (-1) - (1) = -3
-2 - 1 = -3
-3 = -3, und das stimmt!

e) x (x - 3) (2x - 7) = 0

Ein Produkt ergibt 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Wir haben in dieser Aufgabe 3 Faktoren. Wenn nun einer der drei 0 ist, stimmt die Gleichung. Folglich haben wir 3 Lösungen.

x ist 0, wenn x = 0.

(x - 3) ist 0, wenn x = 3.

(2x - 7) ist etwas schwieriger. Wir stellen einfach eine Gleichung auf:

2x - 7 = 0   /+7
2x = 7   /:2
x = 3.5

Somit: x₁ = 0  und  x₂ = 3  und  x₃ = 3.5

f)

5x + 36 = 8x   /-5x
36 = 3x   /:3
x = 12

Test:

5*12 + 36 = 8*12
60 + 36 = 96
96 = 96, richtig.

g) Ich zähle 5 aufeinander folgende UNgerade natürliche Zahlen zusammen und erhalte 125. Welches war die Kleinste?

Da wir die Kleinste suchen, nennen wir diese x. Alle weiteren können wir dadurch finden, dass wir jeweils 2 dazuzählen.

x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) = 125
x + x + 2 + x + 4 + x + 6 + x + 8 = 125
5x + 20 = 125   /-20
5x = 105   /:5
x = 21

Test:

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125
125 = 125, richtig.

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