Ungleichungen |
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Was ist eine Ungleichung? Was ist eine Lösung? Äquivalenz-Umformungen Lösen einer Ungleichung Aufgaben |
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Eine Ungleichung ist eine mathematische Aussage darüber, welche relative Grösse und Ordnung zwei Objekte in Bezug aufeinander haben. Das heisst, man erfährt nichts über die eigentliche Grösse, sondern nur etwas über den Vergleich zweier Objekte. Man kann sich eine Ungleichung auch als eine Waage vorstellen, bei der die eine Seite schwerer ist als die andere. Es herrscht Ungleichgewicht.
Der Ausdruck a < b bedeutet
a ist kleiner als b
und a > b bedeutet a
ist grösser als b. Weiter heisst
TIPP: Wenn du dir nicht merken kannst, welches Zeichen "grösser als" und welches "kleiner als" bedeutet, kannst du es dir mit einem Krokodil merken. Die Öffnung des Zeichens < ist der Mund des Krokodils. Das Krokodil ist ein Vielfrass und will immer nur das Grössere von beiden fressen. Also ist die Öffnung des Ungleichheitszeichens immer auf der grösseren Seite.
Es gilt immer genau EINE der folgenden Beziehungen für 2 reelle Zahlen a und b: a < b, a = b oder a > b.
Wenn du den exakten Wert für eine Zahl x nicht weisst, sie aber
eingrenzen kannst, ist eine Ungleichung hilfreich! Wenn du noch mehr wissen möchtest, kannst du auch auf der Website Wikipedia nachschauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung
Alle Lösungen einer Ungleichung zusammengenommen bilden die Lösungsmenge. Die Lösungsmenge einer Ungleichung ist meist viel grösser als die einer Gleichung! "eine Ungleichung lösen" = schrittweise die gegebene Ungleichung vereinfachen und umformen, bis die Lösungsmenge direkt abgelesen werden kann.
Erlaubt ist: Auf beiden Seiten des Ungleichheitszeichens... ... eine bestimmte Zahl (oder einen Term) zu addieren/subtrahieren. ... mit einer bestimmten Zahl (oder einem Term) zu multiplizieren/dividieren.
Eine Ungleichung mit 0 zu multiplizieren oder durch 0 zu dividieren!
Eine Ungleichung löst du genau auf die selbe Weise wie eine Gleichung! Nur hat es eben in der Mitte kein Gleichheitszeichen, sondern ein Ungleichheitszeichen. Das Lösen einer Ungleichung kannst du sehr gut auch mit einer Gleichung üben: Hier noch ein paar Tipps: 1. Alles, was du mit einer Ungleichung anstellst, machst du AUF BEIDEN SEITEN! 2. Bei den Gleichungen ist es erlaubt, die beiden Seiten des Gleichheitszeichens einfach zu vertauschen. Bei Ungleichungen geht dies aber nicht so einfach! a < b ist nicht dasselbe wie b < a. Wenn du die beiden Seiten dennoch vertauschen möchtest, musst du auch das Ungleichheitszeichen drehen! RICHTIG: x < 5 ist dasselbe wie 5 > x. (Wir haben das Zeichen gedreht!) FALSCH: x < 5 ist dasselbe wie 5 < x.
3. Auch bei einer Ungleichung kannst du die Lösungsmenge
kontrollieren, selbst wenn sie unendlich gross ist. Wenn du zum Beispiel die
Lösungsmenge x > 3 erhältst, testest du zuerst eine Zahl, die nahe bei 3
liegt (zum Beispiel 4) und anschliessend noch eine weitere Zahl, die etwas
weiter weg liegt von 3 (zum Beispiel 10). Nimm am besten schöne Zahlen, mit
denen es sich einfach rechnen lässt (zum Beispiel 0, 1, 2, 5, 10...) . Aber
natürlich sollst du nur Zahlen testen, die sich auch in der Lösungsmenge
befinden (in unserem Beispiel sind das nur Zahlen, die grösser als 3 sind). |
HINWEIS für alle Aufgaben: Die Grundmenge
ist
a) 4 (3 - x) + 2 (10x + 3) - 5x < 4 (6 + 2.5x) b) 2x + 7 (x + 3) > -6 (2 - x) + 2x + 30 c) 3 (3x - 6) + 3x < 9 (4 + x) - 18 TIPP für c): Du kannst die Gleichung bereits ganz am Anfang vereinfachen! d)
TIPP für d): Multipliziere zuerst mit dem kgV aller Nenner, so dass diese verschwinden! das kleinste gemeinsame Vielfache e) Es gilt
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