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Ungleichungen

Gleichungen

 

Inhalt

Was ist eine Ungleichung?
Was ist eine Lösung?
Äquivalenz-Umformungen
Lösen einer Ungleichung
Aufgaben

Inhalt

 

Was ist eine Ungleichung?

Eine Ungleichung ist eine mathematische Aussage darüber, welche relative Grösse und Ordnung zwei Objekte in Bezug aufeinander haben. Das heisst, man erfährt nichts über die eigentliche Grösse, sondern nur etwas über den Vergleich zweier Objekte. Man kann sich eine Ungleichung auch als eine Waage vorstellen, bei der die eine Seite schwerer ist als die andere. Es herrscht Ungleichgewicht.

Der Ausdruck a < b bedeutet a ist kleiner als b und a > b bedeutet a ist grösser als b. Weiter heisst , dass a kleiner oder gleich b ist und , dass a grösser oder gleich b ist.

TIPP: Wenn du dir nicht merken kannst, welches Zeichen "grösser als" und welches "kleiner als" bedeutet, kannst du es dir mit einem Krokodil merken. Die Öffnung des Zeichens < ist der Mund des Krokodils. Das Krokodil ist ein Vielfrass und will immer nur das Grössere von beiden fressen. Also ist die Öffnung des Ungleichheitszeichens immer auf der grösseren Seite.

Es gilt immer genau EINE der folgenden Beziehungen für 2 reelle Zahlen a und b:   a < b, a = b oder a > b.

Wenn du den exakten Wert für eine Zahl x nicht weisst, sie aber eingrenzen kannst, ist eine Ungleichung hilfreich!
 

Wenn du noch mehr wissen möchtest, kannst du auch auf der Website Wikipedia nachschauen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung

 

Was ist eine Lösung?

Wenn eine Zahl, die aus der vereinbarten Grundmenge stammt, in eine Ungleichung eingesetzt wird und so dazu führt, dass die Ungleichung stimmt, nennen wir diese Zahl eine Lösung.

Alle Lösungen einer Ungleichung zusammengenommen bilden die Lösungsmenge. Die Lösungsmenge einer Ungleichung ist meist viel grösser als die einer Gleichung!

"eine Ungleichung lösen" = schrittweise die gegebene Ungleichung vereinfachen und umformen, bis die Lösungsmenge direkt abgelesen werden kann.

 

Äquivalenz-Umformungen

Umformungen (=Veränderungen) einer Ungleichung, welche die Lösung(en) der Ungleichung nicht verändern, heissen Äquivalenz-Umformungen. Dabei gelten genau die gleichen Regeln wie bei Gleichungen:
 

Erlaubt ist:

Auf beiden Seiten des Ungleichheitszeichens...

... eine bestimmte Zahl (oder einen Term) zu addieren/subtrahieren.

... mit einer bestimmten Zahl (oder einem Term) zu multiplizieren/dividieren.


Verboten ist:

Eine Ungleichung mit 0 zu multiplizieren oder durch 0 zu dividieren!

 

Das Lösen einer Ungleichung

Eine Ungleichung löst du genau auf die selbe Weise wie eine Gleichung! Nur hat es eben in der Mitte kein Gleichheitszeichen, sondern ein Ungleichheitszeichen. Das Lösen einer Ungleichung kannst du sehr gut auch mit einer Gleichung üben:

Gleichungen

Hier noch ein paar Tipps:

1. Alles, was du mit einer Ungleichung anstellst, machst du AUF BEIDEN SEITEN!

2. Bei den Gleichungen ist es erlaubt, die beiden Seiten des Gleichheitszeichens einfach zu vertauschen. Bei Ungleichungen geht dies aber nicht so einfach! a < b ist nicht dasselbe wie b < a. Wenn du die beiden Seiten dennoch vertauschen möchtest, musst du auch das Ungleichheitszeichen drehen!

RICHTIG: x < 5 ist dasselbe wie 5 > x. (Wir haben das Zeichen gedreht!)

FALSCH: x < 5 ist dasselbe wie 5 < x.

3. Auch bei einer Ungleichung kannst du die Lösungsmenge kontrollieren, selbst wenn sie unendlich gross ist. Wenn du zum Beispiel die Lösungsmenge x > 3 erhältst, testest du zuerst eine Zahl, die nahe bei 3 liegt (zum Beispiel 4) und anschliessend noch eine weitere Zahl, die etwas weiter weg liegt von 3 (zum Beispiel 10). Nimm am besten schöne Zahlen, mit denen es sich einfach rechnen lässt (zum Beispiel 0, 1, 2, 5, 10...) . Aber natürlich sollst du nur Zahlen testen, die sich auch in der Lösungsmenge befinden (in unserem Beispiel sind das nur Zahlen, die grösser als 3 sind).
Wenn du die Zahl 3 testest, erhältst du den Gleichheitsfall. Du wirst also erhalten: 3 > 3. Dies ist falsch, da 3 nicht grösser als 3 ist. Somit gehört 3 nicht in unsere Lösungsmenge. Das muss auch so sein, denn x > 3 enthält die Zahl 3 gar nicht.
 

 

Aufgaben

HINWEIS für alle Aufgaben: Die Grundmenge ist .

a) 4 (3 - x) + 2 (10x + 3) - 5x < 4 (6 + 2.5x)

b) 2x + 7 (x + 3) > -6 (2 - x) + 2x + 30

c) 3 (3x - 6) + 3x < 9 (4 + x) - 18

TIPP für c): Du kannst die Gleichung bereits ganz am Anfang vereinfachen!

d)

TIPP für d): Multipliziere zuerst mit dem kgV aller Nenner, so dass diese verschwinden!

das kleinste gemeinsame Vielfache

e) Es gilt . Welches ist die kleinste Zahl, die x sein kann?

 

Lösung

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