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Addition und Subtraktion (Kommutativgesetz)

Multiplikation und Division

 

Inhalt

Vorzeichen
Plus
Minus
Auflösen (von innen und aussen)
Zahlendarstellung
Gleiches Vorzeichen
Unterschiedliches Vorzeichen
Kommutativgesetz
Aufgaben

Inhalt

 

Vorzeichen

Das Vorzeichen, welches vor einer Klammer steht, gilt für JEDEN Summand, der sich in der Klammer befindet!

- (a + b + c)   (Das Minus gilt für das a, für das b und für das c!)

 

Das Plus

Ein Plus vor einer Klammer ändert nichts, da wir uns automatisch ein Plus denken können, wenn wir kein Vorzeichen sehen. ("2" erkennen wir ohne zu überlegen als +2.) Und weil sich nichts verändert, können wir eine Klammer auch weglassen, wenn nur ein Plus davor steht.

+ (a - b + c - d) ist dasselbe wie a - b + c - d.

 

Das Minus

Ein Minus vor einer Klammer ändert hingegen das Vorzeichen JEDES Summanden, welcher sich in der Klammer befindet. Nur wenn wir alle Vorzeichen geändert haben, dürfen wir die Klammer weglassen.

ACHTUNG: Wenn nichts vor einer Zahl steht, ist sie automatisch positiv (hat ein Plus)! (Trifft im folgenden Beispiel für a zu.)

- (a - b + c - d) = - a + b - c + d

Wenn ein Plus und ein Minus für eine bestimmte Klammer gelten, muss man nur das Minus beachten.

- ( + (a - b + c - d) = - a + b - c + d

Da jedes Minus die Vorzeichen umkehrt, heben sich 2 Minus logischerweise auf. (aufheben = sie verlieren ihre Wirkung)

- ( - (a - b + c - d)) = a - b + c - d

 

Das Auflösen

Es gibt 2 verschiedene Arten, um Klammern aufzulösen. Entweder von innen (man löst schrittweise jede Klammer einzeln auf) oder von aussen (man löst alle Klammern in einem Schritt auf). Wenn man von aussen auflöst, geht es deutlich schneller, jedoch passieren auch mehr Fehler!
 

Von innen:

TIPP: Klammern, die nichts miteinander zu tun haben, sollte man gleichzeitig auflösen, um Zeit zu sparen. (In diesem Beispiel gilt das für die beiden {}-Klammern!)

- ( 2c + a + [ 3b + { -c + b }  - 2a - { 3b - 4a } ] )
= - ( 2c + a + [ 3b - c + b - 2a - 3b + 4a ] )
= - ( 2c + a + 3b - c + b - 2a - 3b + 4a )
= -2c - a - 3b + c - b + 2a + 3b - 4a
= -3a - b - c 

die Aufgabe
Wir lösen die {} auf.
Wir streichen die [] einfach weg, weil es ein + vorne dran hat.
Wir ändern alle Vorzeichen und lösen die () auf.
Wir fassen zusammen.


Von aussen:

Wir betrachten jeden Term einzeln und zählen die Vorzeichen, die sich auf ihn auswirken.

2c hat ein Minus = -2c
a hat ein Plus und ein Minus = -a
3b hat ein Plus und ein Minus = -3b
c hat 2 Plus und 2 Minus, die sich aufheben = c
b hat 3 Plus und ein Minus = -b
2a hat ein Plus und 2 Minus, die sich aufheben = 2a
3b hat ein Plus und 2 Minus, die sich aufheben = 3b
4a hat ein Plus und 3 Minus, wovon sich 2 aufheben und eines bleibt = -4a

zusammengefasst: -2c - a - 3b + c - b + 2a + 3b - 4a = -3a - b - c

 

Zahlendarstellung

Hier eine Hilfe, um dir negative und positive Zahlen besser vorzustellen:

Positive Zahlen verlaufen auf unserem Zahlenstrahl nach oben, negative Zahlen nach unten.

Beispiel: a = +3 und b = -4

 

Gleiches Vorzeichen

Wenn beide Zahlen das selbe Vorzeichen haben, laufen sie in die gleiche Richtung. Das bedeutet, dass sich der Pfeil verlängert. (Sowohl der rote, wie auch der blaue Pfeil verlängert sich.) Es gibt eine Summe.

Wir beginnen in der Mitte (bei 0):

2 + 3 = 5

-4 - 1 = -5

 

Unterschiedliches Vorzeichen

Wenn 2 Zahlen verschiedene Vorzeichen haben, laufen die Pfeile in die entgegen gesetzte Richtung. Das bedeutet, dass sich der Pfeil verkürzt. (Der pinkige Pfeil ist kürzer als die beiden anderen.) Es gibt eine Differenz. Wenn die positive Zahl grösser ist, dann ist die Differenz positiv. Wenn die negative Zahl grösser ist, ist auch die Differenz negativ.

Wir beginnen in der Mitte (bei 0):

4 - 6 = -2

 

Das Kommutativgesetz

Übersetzt handelt es sich um das "Vertauschungsgesetz". Es bedeutet, dass man die verschiedenen Argumente vertauschen kann, ohne dass sich das Resultat ändert. Für die Addition und die Subtraktion gilt das Kommutativgesetz. Mit anderen Worten: sie sind kommutativ. Das heisst:

+a - b = -b + a

ACHTUNG: Die Vorzeichen müssen immer mitgenommen werden, wenn wir etwas vertauschen!

2 + 5 = 5 + 2 = 7

4 - 10 = -10 + 4 = -6

 

 

Aufgaben

a) - ( b + [ 2a - 2c ] - { c  + a + ( 4b - 2 ) } )

b) + ( m - n - [ o - p - { 2m + n - 3o } ] + 4p )

c) -18 + 2 + 5 - 2

d) -2 - 3

e) -4 + 2

Noch ein paar Übungen für den Zahlenstrahl:

f) Welche Zahl muss man zu -17 addieren, um 13 zu erhalten?

g) Zu welcher Zahl muss man 16 addieren, um -5 zu erhalten?

h) Welche Zahl muss man von 17 subtrahieren, um 41 zu erhalten?

i) Von welcher Zahl muss man 27 subtrahieren, um -19 zu erhalten?

 

Lösung

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