Addition und Subtraktion (Kommutativgesetz) |
Inhalt |
Vorzeichen Plus Minus Auflösen (von innen und aussen) Zahlendarstellung Gleiches Vorzeichen Unterschiedliches Vorzeichen Kommutativgesetz Aufgaben |
Inhalt |
Das Vorzeichen, welches vor einer Klammer steht, gilt für JEDEN Summand, der sich in der Klammer befindet! - (a + b + c) (Das Minus gilt für das a, für das b und für das c!)
Ein Plus vor einer Klammer ändert nichts, da wir uns automatisch ein Plus denken können, wenn wir kein Vorzeichen sehen. ("2" erkennen wir ohne zu überlegen als +2.) Und weil sich nichts verändert, können wir eine Klammer auch weglassen, wenn nur ein Plus davor steht. + (a - b + c - d) ist dasselbe wie a - b + c - d.
Ein Minus vor einer Klammer ändert hingegen das Vorzeichen JEDES Summanden, welcher sich in der Klammer befindet. Nur wenn wir alle Vorzeichen geändert haben, dürfen wir die Klammer weglassen. ACHTUNG: Wenn nichts vor einer Zahl steht, ist sie automatisch positiv (hat ein Plus)! (Trifft im folgenden Beispiel für a zu.) - (a - b + c - d) = - a + b - c + d Wenn ein Plus und ein Minus für eine bestimmte Klammer gelten, muss man nur das Minus beachten. - ( + (a - b + c - d) = - a + b - c + d Da jedes Minus die Vorzeichen umkehrt, heben sich 2 Minus logischerweise auf. (aufheben = sie verlieren ihre Wirkung) - ( - (a - b + c - d)) = a - b + c - d
Es gibt 2 verschiedene Arten, um Klammern
aufzulösen. Entweder von innen (man löst schrittweise jede Klammer einzeln auf)
oder von aussen (man löst alle Klammern in einem Schritt auf). Wenn man von
aussen auflöst, geht es deutlich schneller, jedoch passieren auch mehr Fehler! Von innen: TIPP: Klammern, die nichts miteinander zu tun haben, sollte man gleichzeitig auflösen, um Zeit zu sparen. (In diesem Beispiel gilt das für die beiden {}-Klammern!) |
- ( 2c + a + [ 3b + { -c + b } - 2a - { 3b
- 4a } ] ) |
die Aufgabe |
Wir betrachten jeden Term einzeln und zählen die Vorzeichen, die sich auf ihn auswirken. 2c hat ein Minus = -2c zusammengefasst: -2c - a - 3b + c - b + 2a + 3b - 4a = -3a - b - c
Hier eine Hilfe, um dir negative und positive Zahlen besser vorzustellen:
Positive Zahlen verlaufen auf unserem Zahlenstrahl nach oben, negative Zahlen nach unten. Beispiel: a = +3 und b = -4
Wenn beide Zahlen das selbe Vorzeichen haben, laufen sie in die gleiche Richtung. Das bedeutet, dass sich der Pfeil verlängert. (Sowohl der rote, wie auch der blaue Pfeil verlängert sich.) Es gibt eine Summe.
Wir beginnen in der Mitte (bei 0): 2 + 3 = 5 -4 - 1 = -5
Wenn 2 Zahlen verschiedene Vorzeichen haben, laufen die Pfeile in die entgegen gesetzte Richtung. Das bedeutet, dass sich der Pfeil verkürzt. (Der pinkige Pfeil ist kürzer als die beiden anderen.) Es gibt eine Differenz. Wenn die positive Zahl grösser ist, dann ist die Differenz positiv. Wenn die negative Zahl grösser ist, ist auch die Differenz negativ.
Wir beginnen in der Mitte (bei 0): 4 - 6 = -2
Übersetzt handelt es sich um das "Vertauschungsgesetz". Es bedeutet, dass man die verschiedenen Argumente vertauschen kann, ohne dass sich das Resultat ändert. Für die Addition und die Subtraktion gilt das Kommutativgesetz. Mit anderen Worten: sie sind kommutativ. Das heisst: +a - b = -b + a ACHTUNG: Die Vorzeichen müssen immer mitgenommen werden, wenn wir etwas vertauschen! 2 + 5 = 5 + 2 = 7 4 - 10 = -10 + 4 = -6
|
a) - ( b + [ 2a - 2c ] - { c + a + ( 4b - 2 ) } ) b) + ( m - n - [ o - p - { 2m + n - 3o } ] + 4p ) c) -18 + 2 + 5 - 2 d) -2 - 3 e) -4 + 2 Noch ein paar Übungen für den Zahlenstrahl: f) Welche Zahl muss man zu -17 addieren, um 13 zu erhalten? g) Zu welcher Zahl muss man 16 addieren, um -5 zu erhalten? h) Welche Zahl muss man von 17 subtrahieren, um 41 zu erhalten? i) Von welcher Zahl muss man 27 subtrahieren, um -19 zu erhalten?
|