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Multiplikation und Division

Addition und Subtraktion (Kommutativgesetz)

 

Inhalt

Reihenfolge
Division
Kommutativgesetz
Faktoren vor Klammern
Divisoren vor Klammern
Auflösen (von innen und aussen)
Aufgaben

Inhalt

 

Die Reihenfolge

Zuerst etwas Grundsätzliches: Klammern werden immer zuerst ausgerechnet! Wenn keine Klammern da sind, gilt Punkt vor Strich! Das heisst, dass wir zuerst die Mal- und Geteiltdurch-Zeichen ausrechnen (wobei die Reihenfolge egal ist) und erst dann die Plus und Minus (wobei die Reihenfolge ebenfalls keine Rolle spielt)!

Beispiel:

3 * (6 - 4) + 16 : 4
 

= 3 * (2) + 16 : 4
= 6 + 4
= 10

Klammer
Punkte
Striche

 

Die Division

Hier noch eine kleine Zusatzinformation: Eine Division kann man auch als Bruch schreiben. Somit ist ein Divisor automatisch auch ein Faktor.

 

Das Kommutativgesetz

Auch die Multiplikation und die Division sind kommutativ. Das heisst, man kann die Faktoren beliebig vertauschen.

2 * 4 * 6  =  4 * 6 * 2  =  6 * 2 * 4  =  48

ACHTUNG: Wenn NUR Faktoren im Spiel sind, haben Klammern keine Wirkung! Man kann sie also weglassen!

2 * (4 * 6)  =  4 * (6 * 2)  =  6 * (2 * 4)  =  2 * 4 * 6  =  48

 

Faktoren vor Klammern

Wenn ein Faktor vor (oder in seltenen Fällen auch hinter) einer Klammer steht, multipliziert man diesen mit JEDEM Term, der sich in der Klammer befindet. Vorzeichen gelten dabei nach wie vor (Plus vor Klammer ändert nichts, Minus ändert alle Vorzeichen in der Klammer!).

3 * (2a + 4b + 5c)  =  3 * 2a + 3 * 4b + 3 * 5c  =  6a + 12b + 15c

Zur Überprüfung:

3 * (2a + 4b + 5c)  ist dasselbe wie  (2a + 4b + 5c) + (2a + 4b + 5c) + (2a + 4b + 5c)

Innerhalb einer Klammer darf man auch schon am Anfang zusammenfassen.
Aber ACHTUNG: Nur Elemente, die NICHT von einer Klammer getrennt werden, dürfen zusammengefasst werden!

-2 * (2m - 3 - n + 12)  =  -2 * (2m - n + 9)  =  -2 * 2m + 2 * n - 2 * 9  =  -4m + 2n - 18

(3s + 2r - 3s - 20) * 5  =  (2r - 20) * 5  =  2r * 5 - 20 * 5  =  10r - 100

Als Faktor kann auch eine Variable vor (oder hinter) einer Klammer stehen.

5a * (2b + 3a - 4c)  =  5a * 2b + 5a * 3a - 5a * 4c  =  10ab + 15a2 - 20ac

TIPP: Wenn du dich unsicher fühlst beim Rechnen mit Buchstaben, schau dir das Kapitel "Variablen" an!

Variablen (Buchstaben)

 

Divisoren vor Klammern

Wenn ein Divisor hinter (oder in seltenen Fällen als Bruch auch vor) einer Klammer steht, dividiert man JEDEN Term, der sich in der Klammer befindet, durch diesen Divisor. Vorzeichen gelten dabei nach wie vor (Plus vor Klammer ändert nichts, Minus ändert alle Vorzeichen in der Klammer!).

(2a - 4b + 16c) : 2  =  2a : 2 - 4b : 2 + 16c : 2  =  a - 2b + 8c

Zur Überprüfung kann man rückwärts rechnen und man erhält wieder die Ausgangsklammer:

(a - 2b + 8c) * 2  =  2a - 4b + 16c   und davon sind wir ausgegangen. Es stimmt also.

Auch hier dürfen wir schon am Anfang zusammenfassen, um zu vereinfachen. Ausserdem ist es nach wie vor möglich, dass Variablen als Divisoren auftreten.

(20a + 16a3 + 4a) : 8a  =  (16a3 + 24a) : 8a  =  16a3 : 8a + 24a : 8a  =  2a2 + 3

 

Das Auflösen

Es gibt 2 verschiedene Arten, um Klammern aufzulösen. Entweder von innen (man löst schrittweise jede Klammer einzeln auf) oder von aussen (man löst alle Klammern in einem Schritt auf). Wenn man von aussen auflöst, geht es deutlich schneller, jedoch passieren auch mehr Fehler!
 

Von innen:

TIPP: Klammern, die nichts miteinander zu tun haben, sollte man gleichzeitig auflösen, um Zeit zu sparen. (In diesem Beispiel gilt das für die []- und die {}-Klammern!)

4 * ( 2a + 7c - 3 [ b - 2a ] + { 4c - 2a } : 2 )
= 4 * ( 2a + 7c - 3b + 6a + 2c - a )
= 4 * ( 7a - 3b + 9c )
= 28a - 12b + 36c

die Aufgabe
Wir lösen die [] und die {} auf und ändern bei den [] die Vorzeichen.
Wir fassen zusammen, um zu vereinfachen.
Wir multiplizieren die () mit 4 und sind fertig.


Von aussen:

Wir betrachten jeden Term einzeln und zählen die Vorzeichen und Faktoren, die sich auf ihn auswirken.

ACHTUNG: Weil es jetzt noch zusätzliche Zahlen hat, die jedoch nur Faktoren sind, ist es schwieriger, die richtigen Terme zu erwischen!

2a hat ein *4 = 8a
7c hat ein *4 = 28c
b hat ein Minus, ein *4 und ein *3 = -12b
2a hat 2 Minus, die sich aufheben, ein *4 und ein *3 = 24a
4c hat ein Plus, ein *4 und ein :2 = 8c
2a hat ein Plus und ein Minus, ein *4 und ein :2 = -4a

zusammengefasst: 8a + 28c - 12 b + 24a + 8c - 4a = 28a - 12b + 36c

 

 

Aufgaben

a) 4 + 3 * ( 7 - 3 * 2 ) - ( 5 + 4 ) : 3 - 2

b) 35 * 11 *

c) 2c + 8a - ( 3b - 6 [ 2a - { b + 4c } ] ) : 3

d) 1/5 ( 15m + [ 20n - 10 { 8n - m } ] : 2 ) + 3m

TIPP für d): = 1/5

e) 2a - ( 9a2bc + ab [ -12c2 + 18ac ] - 6a2b2c2 ) : 3abc

f) Welche Zahl muss mit -4 multipliziert werden, damit 48 resultiert?

g) Welche Zahl muss durch 2 dividiert werden, so dass -5 herauskommt?

h) Durch welchen Term muss man 15a2bx dividieren, damit es -3a gbit?

i) Mit welchem Term ist 4mn2 zu multiplizieren, damit -0.5m5n3 resultiert?

 

Lösung

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