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lösung

Addition und Subtraktion (Kommutativgesetz)

a) 4 + 3 * ( 7 - 3 * 2 ) - ( 5 + 4 ) : 3 - 2
 

= 4 + 3 * ( 7 - 6 ) - ( 5 + 4 ) : 3 - 2
= 4 + 3 * ( 1 ) - ( 9 ) : 3 - 2
= 4 + 3 - 3 - 2
= 2

in den Klammern: Punkte
in den Klammern: Striche
Punkte
Striche

b) 35 * 11 *

1. = :5

2. Hier kann man es entweder kompliziert machen, oder man kann schlau rechnen, indem man das Kommutativgesetz zur Hilfe nimmt.

35 * 11 *   =  35 * * 11  =  35 : 5 * 11  =  7 * 11  =  77

c) Von innen:
 

2c + 8a - ( 3b - 6 [ 2a - { b + 4c } ] ) : 3
= 2c + 8a - ( 3b - 6 [ 2a - b - 4c ] ) : 3
= 2c + 8a - ( 3b - 12a + 6b + 24c ) : 3
= 2c + 8a - b + 4a - 2b - 8c
= 12a - 3b - 6c

die Aufgabe
Wir ändern die Vorzeichen und lösen die {} auf.
Wir ändern die Vorzeichen, multiplizieren mit 6 und lösen die [] auf.
Wir ändern die Vorzeichen, teilen durch 3 und lösen die () auf.
Wir fassen zusammen.

2c hat nichts = 2c
8a hat ebenfalls nichts = 8a
3b hat ein Minus und ein :3 = -b
2a hat 2 Minus, die sich aufheben, ein :3 und ein *6 = 4a
b hat 3 Minus, wovon sich 2 aufheben und eines bleibt, ein :3 und ein *6 = -2b
4c hat 3 Minus, wovon sich 2 aufheben und eines bleibt, ein :3 und ein *6 = -8c

zusammengefasst: 2c + 8a - b + 4a - 2b - 8c = 12a - 3b - 6c

d) 1/5 ( 15m + [ 20n - 10 { 8n - m } ] : 2 ) + 3m

Um zu vereinfachen: 1/5 = :5

Von innen:
 

( 15m + [ 20n - 10 { 8n - m } ] : 2 ) : 5 + 3m
= ( 15m + [ 20n - 80n + 10m ] : 2 ) : 5 + 3m
= ( 15m + 10n - 40n + 5m ) : 5 + 3m
= 3m + 2n - 8n + m + 3m
= 7m - 6n

die Aufgabe
Wir ändern die Vorzeichen, multiplizieren mit 10 und lösen die {} auf.
Wir teilen durch 2 und lösen die [] auf.
Wir teilen durch 5 und lösen die () auf.
Wir fassen zusammen.

15m hat ein :5 = 3m
20n hat ein Plus, ein :5 und ein :2 = 2n
8n hat ein Plus und ein Minus, ein :5, ein :2 und ein *10 (diese 3 Faktoren heben sich auf) = -8n
m hat ein Plus und 2 Minus, die sich aufheben, ein :5, ein :2 und ein *10 (diese 3 Faktoren heben sich auf) = m
3m hat nichts = 3m

zusammengefasst: 3m + 2n - 8n + m + 3m = 7m - 6n

(Bei diesem Beispiel musste man fast nichts rechnen, wenn man von aussen auflöst hat, denn es hebt sich vieles gegenseitig auf. Hier konnte man also viel Zeit sparen!)

e) Von innen:
 

2a - ( 9a²bc + ab [ -12c² + 18ac ] - 6a²b²c² ) : 3abc
= 2a - ( 9a²bc - 12abc² + 18a²bc - 6a²b²c² ) : 3abc
= 2a - ( 27a²bc - 12abc² - 6a²b²c² ) : 3abc
= 2a - 9a + 4c + 2abc
= 2abc - 7a + 4c

die Aufgabe
Wir multiplizieren mit ab und lösen die [] auf.
Wir fassen 9a²bc und 18a²bc innerhalb der () zusammen.
Wir ändern die Vorzeichen, teilen durch 3abc und lösen die () auf.
Wir fassen zusammen.

2a hat nichts = 2a
9a²bc hat ein Minus und ein :3abc = -3a
12c² hat ein Plus und 2 Minus, die sich aufheben, ein *ab und ein :3abc (das ab hebt sich auf) = 4c
18ac hat 2 Plus und ein Minus, ein *ab und ein :3abc (das ab hebt sich auf) = -6a
6a²b²c² hat 2 Minus, die sich aufheben, und ein :3abc = 2abc

zusammengefasst: 2a - 3a + 4c - 6a + 2abc = 2abc - 7a + 4c

f) ? * (-4) = 48   Rückwärts rechnen: Anstatt die Unbekannte mit -4 zu multiplizieren, von 48 ausgehen und durch -4 dividieren.
48 : (-4) = -12

g) ? : 2 = -5   Rückwärts rechnen: Anstatt die Unbekannte durch 2 zu dividieren, von -5 ausgehen und mal 2 rechnen.
-5 * 2 = -10

h) 15a²bx : ? = -3a

1.Weg:

Wie kommt man von 15a²bx auf -3a? Zuerst einmal brauchen wir ein Minus, weil sich das Vorzeichen ändert. Von 15 auf 3 kommt man, indem man durch 5 teilt. Von a² auf a kommt man, indem man durch a teilt und weil bx verschwindet, müssen wir auch durch bx teilen. Alles zusammen: -5abx

2.Weg:

Man kann bei einer Division den Divisor (=?) und den Quotient (=-3a) vertauschen.
Also ist 15a²bx : ? = -3a dasselbe wie 15a²bx : (-3a) = ?. Und 15a²bx : (-3a) = -5abx

i) 4mn² * ? = -0.5m⁵n³   HILFREICH: 0.5 = 1/2

1.Weg:

Wie kommt man von 4mn² auf -0.5m⁵n³? Zuerst einmal brauchen wir ein Minus, weil sich das Vorzeichen ändert. Von 4 auf 0.5 (=1/2) kommt man, indem man durch 8 teilt oder *1/8 rechnet. Von m auf m⁵ kommt man, indem man mit m⁴ multipliziert und n³ erreicht man, wenn man n² mal n rechnet. Alles zusammen: -(1/8)m⁴n

2.Weg:

Mit dem Kommutativgesetz erhalten wir aus 4mn² * ? = -0.5m⁵n³ folgende Gleichung:
? * 4mn² = -0.5m⁵n³
Anstatt die Unbekannte mit 4mn² zu multiplizieren, von -0.5m⁵n³ ausgehen und durch 4mn² dividieren.
-0.5m⁵n³ : 4mn² = -(1/8)m⁴n

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