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lösung

Multiplikation und Division

Addition und Subtraktion (Kommutativgesetz)

 

 

a)   b)   c)   d)   e)   f)   g)   h)   i)

 

 

a) 4 + 3 * ( 7 - 3 * 2 ) - ( 5 + 4 ) : 3 - 2
 

= 4 + 3 * ( 7 - 6 ) - ( 5 + 4 ) : 3 - 2
= 4 + 3 * ( 1 ) - ( 9 ) : 3 - 2
= 4 + 3 - 3 - 2
= 2

in den Klammern: Punkte
in den Klammern: Striche
Punkte
Striche


b) 35 * 11 *

1. = :5

2. Hier kann man es entweder kompliziert machen, oder man kann schlau rechnen, indem man das Kommutativgesetz zur Hilfe nimmt.

35 * 11 *   =  35 * * 11  =  35 : 5 * 11  =  7 * 11  =  77

 

c) Von innen:
 

2c + 8a - ( 3b - 6 [ 2a - { b + 4c } ] ) : 3
= 2c + 8a - ( 3b - 6 [ 2a - b - 4c ] ) : 3
= 2c + 8a - ( 3b - 12a + 6b + 24c ) : 3
= 2c + 8a - b + 4a - 2b - 8c
= 12a - 3b - 6c

die Aufgabe
Wir ändern die Vorzeichen und lösen die {} auf.
Wir ändern die Vorzeichen, multiplizieren mit 6 und lösen die [] auf.
Wir ändern die Vorzeichen, teilen durch 3 und lösen die () auf.
Wir fassen zusammen.


Von aussen:

2c hat nichts = 2c
8a hat ebenfalls nichts = 8a
3b hat ein Minus und ein :3 = -b
2a hat 2 Minus, die sich aufheben, ein :3 und ein *6 = 4a
b hat 3 Minus, wovon sich 2 aufheben und eines bleibt, ein :3 und ein *6 = -2b
4c hat 3 Minus, wovon sich 2 aufheben und eines bleibt, ein :3 und ein *6 = -8c

zusammengefasst: 2c + 8a - b + 4a - 2b - 8c = 12a - 3b - 6c

 

d) 1/5 ( 15m + [ 20n - 10 { 8n - m } ] : 2 ) + 3m

Um zu vereinfachen: 1/5 = :5

Von innen:
 

( 15m + [ 20n - 10 { 8n - m } ] : 2 ) : 5 + 3m
=
( 15m + [ 20n - 80n + 10m ] : 2 ) : 5 + 3m
=
( 15m + 10n - 40n + 5m ) : 5 + 3m
=
3m + 2n - 8n + m + 3m
= 7m - 6n

die Aufgabe
Wir ändern die Vorzeichen, multiplizieren mit 10 und lösen die {} auf.
Wir teilen durch 2 und lösen die [] auf.
Wir teilen durch 5 und lösen die () auf.
Wir fassen zusammen.


Von aussen:

15m hat ein :5 = 3m
20n hat ein Plus, ein :5 und ein :2 = 2n
8n hat ein Plus und ein Minus, ein :5, ein :2 und ein *10 (diese 3 Faktoren heben sich auf) = -8n
m hat ein Plus und 2 Minus, die sich aufheben, ein :5, ein :2 und ein *10 (diese 3 Faktoren heben sich auf) = m
3m hat nichts = 3m

zusammengefasst: 3m + 2n - 8n + m + 3m = 7m - 6n

(Bei diesem Beispiel musste man fast nichts rechnen, wenn man von aussen auflöst hat, denn es hebt sich vieles gegenseitig auf. Hier konnte man also viel Zeit sparen!)

 

e) Von innen:
 

2a - ( 9a2bc + ab [ -12c2 + 18ac ] - 6a2b2c2 ) : 3abc
= 2a - ( 9
a2bc - 12abc2 + 18a2bc - 6a2b2c2 ) : 3abc
= 2a - ( 27
a2bc - 12abc2 - 6a2b2c2 ) : 3abc
= 2a - 9
a + 4c + 2abc
= 2abc - 7a + 4c

die Aufgabe
Wir multiplizieren mit ab und lösen die [] auf.
Wir fassen
9a2bc und 18a2bc innerhalb der () zusammen.
Wir ändern die Vorzeichen, teilen durch 3abc und lösen die () auf.
Wir fassen zusammen.


Von aussen:

2a hat nichts = 2a
9a2bc hat ein Minus und ein :
3abc = -3a
12c2 hat ein Plus und 2 Minus, die sich aufheben, ein *ab und ein :3abc (das ab hebt sich auf) = 4c
18ac hat 2 Plus und ein Minus, ein *ab und ein :3abc (das ab hebt sich auf) = -6a
6a2b2c2 hat 2 Minus, die sich aufheben, und ein :3abc = 2abc

zusammengefasst: 2a - 3a + 4c - 6a + 2abc = 2abc - 7a + 4c

 

f) ? * (-4) = 48   Rückwärts rechnen: Anstatt die Unbekannte mit -4 zu multiplizieren, von 48 ausgehen und durch -4 dividieren.
48 : (-4) = -12

g) ? : 2 = -5   Rückwärts rechnen: Anstatt die Unbekannte durch 2 zu dividieren, von -5 ausgehen und mal 2 rechnen.
-5 * 2 = -10

h) 15a2bx : ? = -3a

1.Weg:

Wie kommt man von 15a2bx auf -3a? Zuerst einmal brauchen wir ein Minus, weil sich das Vorzeichen ändert. Von 15 auf 3 kommt man, indem man durch 5 teilt. Von a2 auf a kommt man, indem man durch a teilt und weil bx verschwindet, müssen wir auch durch bx teilen. Alles zusammen: -5abx

2.Weg:

Man kann bei einer Division den Divisor (=?) und den Quotient (=-3a) vertauschen.
Also ist 15
a2bx : ? = -3a dasselbe wie 15a2bx : (-3a) = ?. Und 15a2bx : (-3a) = -5abx

i) 4mn2 * ? = -0.5m5n3   HILFREICH: 0.5 = 1/2

1.Weg:

Wie kommt man von 4mn2 auf -0.5m5n3? Zuerst einmal brauchen wir ein Minus, weil sich das Vorzeichen ändert. Von 4 auf 0.5 (=1/2) kommt man, indem man durch 8 teilt oder *1/8 rechnet. Von m auf m5 kommt man, indem man mit m4 multipliziert und n3 erreicht man, wenn man n2 mal n rechnet. Alles zusammen: -(1/8)m4n

2.Weg:

Mit dem Kommutativgesetz erhalten wir aus 4mn2 * ? = -0.5m5n3 folgende Gleichung:
? * 4mn
2 = -0.5m5n3
Anstatt die Unbekannte mit
4mn2 zu multiplizieren, von -0.5m5n3 ausgehen und durch 4mn2 dividieren.
-0.5m5n3 : 4mn2 = -(1/8)m4n

 

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