Was ist die Mächtigkeit einer Menge?
Die Mächtigkeit einer Menge A wird mit lAl bezeichnet und ist die Anzahl der Elemente von A.
Beispiele:
l{1, 2, 4, 8, 23}l = 5
lV20l =
(Das bedeutet: 20 hat unendlich viele Vielfachen,
(eine liegende 8) = das Zeichen für unendlich)
lT12l = l{1, 2, 3, 4, 6, 12}l = 6 (Das bedeutet: 12 hat 6 Teiler.)
l{0}l = 1 (Das Element 0 ist auch ein Element!)
l{ }l = 0 (Die leere Menge hat keine Elemente.)
Primzahlen
Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur 2 Teiler hat: sich selbst und 1. Wenn nun die Anzahl Teiler einer Primzahl gefragt sind als Mächtigkeit einer Menge, weisst du die Antwort bereits!
lTPrimzahll = 2
lT5l = 2
Wenn man die entsprechende Zahl als Produkt zweier verschiedenen Primzahlen schreiben kann, dann ist die Anzahl Teiler gleich 4.
lTPrimzahl*Primzahll = 4
lT35l
= lT7*5l = 4 (weil 7 und 5 Primzahlen sind.)
TIPP: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Hier die kleinsten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, ...
ACHTUNG: 0 und 1 sind keine Primzahlen!
Die Mächtigkeit von Teilmengen
lAl = 17 und lBl = 20
lA
Bl = 30
lA
Bl = 7
Es gilt nun: lA
Bl = lAl + lBl - lA
Bl (Bei diesem Beispiel: 30 = 17 + 20 - 7)
Dies kann man sich so erklären: Wenn du wissen möchtest, wie viele Elemente die Vereinigungsmenge von A und B hat, dann zählst du einfach die Anzahl Elemente von A und B zusammen. Doch Achtung, jetzt hast du die Elemente, welche sich sowohl in A wie auch in B befinden (der orange Teil im Bild), doppelt gezählt! Das heisst, du musst nun alle Elemente, die A und B gemeinsam haben (=die Schnittmenge von A und B), wieder einmal abzählen. Also:
Elemente der Vereinigungsmenge von A und B = Elemente von A + Elemente von B - Elemente der Schnittmenge