a) T16 = {1,2,4,8,16} = {x
l x ist Teiler von 16}
b) Welche Elemente hat die Menge {x
l x ist Teiler von 18, aber kein Teiler von 30}?
= die Menge der natürlichen Zahlen (alle positiven, ganzen Zahlen = 1, 2, 3, 4,
5, ...)
T18 = {1,2,3,6,9,18} und T30 = {1,2,3,5,6,10,15,30}
Welche Elemente kommen nun in T18 vor, aber nicht in T30?
Die Elemente 9 und 18 sind Teiler von 18, aber nicht von 30.
c)
{2,3,5,7,11,13,17} = {x
l x ist Primzahl und x < 18}
d) {1,3,7,21} = {x
l x ist Teiler von 21}
e) Kannst du die Menge {x l x ist Teiler von 12 und x ist Teiler von 18} auch in
aufzählender Form aufschreiben?
Klar kannst du das! :-)
T12 = {1,2,3,4,6,12} und T18 = {1,2,3,6,9,18}
Welche Elemente kommen nun in T12 und in T18 vor?
{x l x ist Teiler von 12 und x ist Teiler von 18} = {1,2,3,6}
f) Was ist (A \ B)
( A
B ) ?
Am besten zeichnest du das Ganze auf. Zuerst
(A \ B) (rot), dann
( A
B ) (gelb) und am Schluss setzt du die beiden Teile zusammen:
Wie du siehst, erhalten wir wieder die Menge A. Dies
ist auch ganz logisch, denn wenn du von A die Schnittmenge von A und B wegnimmst
und sie nachher wieder dazutust, hast du wieder die gesamte Menge A.
g) Was bedeutet A
B = A
B ? Wenn die Schnittmenge von A und B genau
dasselbe ist wie die Vereinigungsmenge von A und B, heisst das, dass sich jedes
Element, welches zu A oder zu B gehört, gleichzeitig in A UND in B befindet.
Also umfassen die beiden Mengen A und B genau die gleichen Elemente und sind
somit dieselben Mengen. Demzufolge können wir sagen: A = B.
h) Ist A
( B
C ) dasselbe wie ( A
B )
C ?
Ja, das ist dasselbe, weil das
Assoziativgesetz gilt. (3 Mengen haben nur eine gemeinsame Vereinigungsmenge)
i) Ist A
( B
C ) dasselbe wie ( A
B )
C ?
Dazu gibt es keine Regel. Probieren wir es aus!
Zuerst A
( B
C ):
(Zuerst haben wir B und C vereinigt und das Erhaltene dann mit A geschnitten.)
Und nun ( A
B )
C:
(Zuerst haben wir A und B geschnitten und das Erhaltene dann mit C vereinigt.)
Die beiden eingefärbten Teilmengen sind überhaupt
nicht die gleichen! Also ist die Antwort: Nein.
j) Ist A
( B
C ) dasselbe wie ( A
B )
(A
C ) ?
Ja, das ist dasselbe, weil das
Distributivgesetz gilt. (Nach dem Prinzip von: a * (b + c) = a * b + a * c
)
k) Ist
dasselbe wie
?
= Alles, was weder in A, noch in B liegt. (
= alles, was sich nicht in A befindet. "Geschnitten" bedeutet immer, dass es
BEIDE Bedingungen erfüllen muss. Es darf also weder in A, noch in B liegen.)
= Alles, was nicht in A oder B liegt. (A und B vereinigt = alles, was sich in A
oder in B befindet. Die Komplementärmenge davon ist genau das Gegenteil: alles,
was NICHT zu A oder zu B gehört.)
Ja, die beiden Teilmengen sind dieselben.
l) lT24l = l{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}l = 8
m) l{ }l = 0 (Die leere Menge hat keine Elemente.)
n) lT77l = lT7*11l = 4 (weil 7 und
11 Primzahlen sind.)
o) l{x
l x2 <
25}l = l{alle positiven, ganzen Zahlen, deren Quadrat
kleiner als 25 ist}l = l{1, 2, 3, 4}l = 4
p) lAl = 12 und lBl = 25 und lA
Bl = 12
Wie viele Elemente hat lA
Bl und was bedeutet das?
Es gilt: lA
Bl = lAl + lBl - lA
Bl
In Worten: Elemente der Vereinigungsmenge von A und B = Elemente von A +
Elemente von B - Elemente der Schnittmenge
Dies haben wir bereits herausgefunden bei der "Mächtigkeit von Teilmengen":
Mächtigkeit
lA
Bl = lAl + lBl - lA
Bl = 12 + 25 - 12 = 25
Die Schnittmenge hat genau gleich viele Elemente
wie A. Das bedeutet, dass es kein Element gibt, dass sich in A befindet, aber
nicht in B.
Die Vereinigungsmenge hat genau gleich viele Elemente wie B. Das bedeutet, dass
es kein Element gibt, welches nicht zu B gehört.
Ausserdem ist A kleiner als B. (lAl = 12 und lBl = 25)
Daraus folgt:
(A ist eine Teilmenge von B.)
q) lAl = 10 und lBl = 16 und lA
Bl = 27
Wie viele Elemente hat lA
Bl?
Wenn A 10 Elemente besitzt und B 16, sind im
Ganzen nur 26 Elemente vorhanden. Die Vereinigungsmenge lA
Bl kann demzufolge unmöglich 27 Elemente haben! Also ist die Aufgabe
unlösbar.
TIPP: Das heisst für dich, dass du immer
aufpassen musst, ob sich nirgendwo ein Fehler eingeschlichen hat!
r) lAl = 10 und lBl = 16 und lA
Bl = 26
Wie viele Elemente hat lA
Bl?
Es gilt: lA
Bl = lAl + lBl - lA
Bl
Hier: 26 = 10 + 16 - lA
Bl = 26 - lA
Bl
Aus der Gleichung 26 = 26 - lA
Bl folgt, dass die Schnittmenge A
B 0 Elemente besitzt. Und 2 Mengen, die keine Schnittmenge haben, heissen
disjunkt.
s) Von den Schülern einer Klasse spielen 6 kein Instrument. 10
Schüler spielen Violine und 7 spielen Klavier. Ferner gibt es 12 Flötenspieler
in der Klasse, von denen alle mit Ausnahme von dreien noch mindestens ein
weiteres Instrument spielen, nämlich 6 Violine und 5 Klavier. Von den
Violinisten spielen 3 kein weiteres Instrument.
Wie viele Schüler...
1. ... zählt die Klasse?
2. ... spielen nur Klavier?
3. ... spielen alle 3 Instrumente?
4. ... spielen Violine und Klavier?
V = Violine, K = Klavier und F = Flöte
Hilfe zum Einzeichnen der Zahlen:
1) Wir schreiben 6 ausserhalb der 3 Mengen, weil 6
Schüler kein Instrument spielen (grün).
2) 3 Schüler spielen nur Flöte, also schreiben wir eine 3 in die Menge F
(gelb).
3) 3 Schüler spielen nur Violine, also schreiben wir eine 3 in die Menge
V (gelb).
4) Nun gibt es 9 Flötenspieler, die noch mindestens ein weiteres
Instrument spielen. 6 spielen Violine und 5 Klavier. Das sind aber 11.
Es gibt aber nur 9 Schüler und nicht 11. Das bedeutet, dass 2 sowohl
Violine wie auch Klavier spielen müssen. Und da diese 2 ja auch noch
Flötenspieler sind, gehört diese 2 in die Mitte, also in die
Schnittmenge aller 3 Mengen (rot).
5) Nun zählen wir von den 6 Schülern, die Flöte und Violine spielen, die
2 weg, die auch noch Klavier spielen, und schreiben eine 4 in die
Schnittmenge zwischen F und V (orange).
6) Dasselbe machen wir mit den 5 Klavier- und Flötenspielern. Wir zählen
2 weg und schreiben eine 3 in die Schnittmenge zwischen K und V
(orange).
7) 10 Schüler spielen Violine. Wir wissen jetzt, dass davon 3 nur
Violine spielen, 4 Violine und Flöte spielen und 2 Violine, Flöte und
Klavier spielen. 10 - 3 - 4 - 2 = 1. Demzufolge muss 1 weiterer Schüler
Violine und Klavier spielen (orange).
8) 7 Schüler spielen Klavier. Wir wissen jetzt, dass davon 1 auch
Violine spielt, 3 auch noch Flöte spielen und 2 sogar alle 3 Instrumente
spielen. 7 - 1 - 3 - 2 = 1. Das bedeutet, dass nur 1 Schüler
ausschliesslich Klavier spielt (gelb).
Nun sind die Fragen ganz einfach:
1. Die Klasse zählt 23 Schüler. (einfach alle
Zahlen zusammenzählen)
2. 1 Schüler spielt lediglich Klavier.
3. 2 Schüler spielen alle 3 Instrumente.
4. 3 Schüler spielen Violine und Klavier. (der eine Schüler, der
nur Violine und Klavier spielt plus die 2, die alles spielen)
Seitenanfang
|