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lösung

Aufgaben Mengenlehre

Teilmengen

 

 


Aufgaben Teilmengen:
 

 

 

a)   b)   c)   d)   e)   f)   g)   h)   i)   j)   k)

 

 


Aufgaben Mächtigkeit:
 

 

 

l)   m)   n)   o)   p)   q)   r)   s)

 

 

a) T16 = {1,2,4,8,16} = {x l x ist Teiler von 16}

 

b) Welche Elemente hat die Menge {x l x ist Teiler von 18, aber kein Teiler von 30}?

= die Menge der natürlichen Zahlen (alle positiven, ganzen Zahlen = 1, 2, 3, 4, 5, ...)

T18 = {1,2,3,6,9,18} und T30 = {1,2,3,5,6,10,15,30}
Welche Elemente kommen nun in T18 vor, aber nicht in T30?
Die Elemente 9 und 18 sind Teiler von 18, aber nicht von 30.

 

c) {2,3,5,7,11,13,17} = {x l x ist Primzahl und x < 18}

 

d) {1,3,7,21} = {x l x ist Teiler von 21}

 

e) Kannst du die Menge {x l x ist Teiler von 12 und x ist Teiler von 18} auch in aufzählender Form aufschreiben?

Klar kannst du das! :-)

T12 = {1,2,3,4,6,12} und T18 = {1,2,3,6,9,18}
Welche Elemente kommen nun in T12 und in T18 vor?
{x l x ist Teiler von 12 und x ist Teiler von 18} = {1,2,3,6}

 

f) Was ist (A \ B) ( A B ) ?

Am besten zeichnest du das Ganze auf. Zuerst (A \ B) (rot), dann ( A B ) (gelb) und am Schluss setzt du die beiden Teile zusammen:

Wie du siehst, erhalten wir wieder die Menge A. Dies ist auch ganz logisch, denn wenn du von A die Schnittmenge von A und B wegnimmst und sie nachher wieder dazutust, hast du wieder die gesamte Menge A.

 

g) Was bedeutet A B = A B ?

Wenn die Schnittmenge von A und B genau dasselbe ist wie die Vereinigungsmenge von A und B, heisst das, dass sich jedes Element, welches zu A oder zu B gehört, gleichzeitig in A UND in B befindet. Also umfassen die beiden Mengen A und B genau die gleichen Elemente und sind somit dieselben Mengen. Demzufolge können wir sagen: A = B.

 

h) Ist A ( B C ) dasselbe wie ( A B ) C ?

Ja, das ist dasselbe, weil das Assoziativgesetz gilt. (3 Mengen haben nur eine gemeinsame Vereinigungsmenge)

 

i) Ist A ( B C ) dasselbe wie ( A B ) C ?

Dazu gibt es keine Regel. Probieren wir es aus! Zuerst A ( B C ):

(Zuerst haben wir B und C vereinigt und das Erhaltene dann mit A geschnitten.)

Und nun ( A B ) C:

(Zuerst haben wir A und B geschnitten und das Erhaltene dann mit C vereinigt.)

Die beiden eingefärbten Teilmengen sind überhaupt nicht die gleichen! Also ist die Antwort: Nein.

 

j) Ist A ( B C ) dasselbe wie ( A B ) (A C ) ?

Ja, das ist dasselbe, weil das Distributivgesetz gilt. (Nach dem Prinzip von:  a * (b + c) = a * b + a * c  )

 

k) Ist dasselbe wie ?

= Alles, was weder in A, noch in B liegt. ( = alles, was sich nicht in A befindet. "Geschnitten" bedeutet immer, dass es BEIDE Bedingungen erfüllen muss. Es darf also weder in A, noch in B liegen.)

= Alles, was nicht in A oder B liegt. (A und B vereinigt = alles, was sich in A oder in B befindet. Die Komplementärmenge davon ist genau das Gegenteil: alles, was NICHT zu A oder zu B gehört.)

Ja, die beiden Teilmengen sind dieselben.

 

l) lT24l = l{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}l = 8

 

m) l{ }l = 0   (Die leere Menge hat keine Elemente.)

 

n) lT77l = lT7*11l = 4   (weil 7 und 11 Primzahlen sind.)

 

o) l{x l x2 < 25}l = l{alle positiven, ganzen Zahlen, deren Quadrat kleiner als 25 ist}l = l{1, 2, 3, 4}l = 4

 

p) lAl = 12 und lBl = 25 und lA Bl = 12
Wie viele Elemente hat lA Bl und was bedeutet das?

Es gilt: lA Bl = lAl + lBl - lA Bl
In Worten: Elemente der Vereinigungsmenge von A und B = Elemente von A + Elemente von B - Elemente der Schnittmenge
Dies haben wir bereits herausgefunden bei der "Mächtigkeit von Teilmengen":

Mächtigkeit

lA Bl = lAl + lBl - lA Bl = 12 + 25 - 12 = 25

Die Schnittmenge hat genau gleich viele Elemente wie A. Das bedeutet, dass es kein Element gibt, dass sich in A befindet, aber nicht in B.
Die Vereinigungsmenge hat genau gleich viele Elemente wie B. Das bedeutet, dass es kein Element gibt, welches nicht zu B gehört.
Ausserdem ist A kleiner als B. (lAl = 12 und lBl = 25)

Daraus folgt: (A ist eine Teilmenge von B.)

 

q) lAl = 10 und lBl = 16 und lA Bl = 27
Wie viele Elemente hat lA Bl?

Wenn A 10 Elemente besitzt und B 16, sind im Ganzen nur 26 Elemente vorhanden. Die Vereinigungsmenge lA Bl kann demzufolge unmöglich 27 Elemente haben! Also ist die Aufgabe unlösbar.

TIPP: Das heisst für dich, dass du immer aufpassen musst, ob sich nirgendwo ein Fehler eingeschlichen hat!

 

r) lAl = 10 und lBl = 16 und lA Bl = 26
Wie viele Elemente hat lA Bl?

Es gilt: lA Bl = lAl + lBl - lA Bl
Hier: 26 = 10 + 16 - lA Bl = 26 - lA Bl

Aus der Gleichung 26 = 26 - lA Bl folgt, dass die Schnittmenge A B 0 Elemente besitzt. Und 2 Mengen, die keine Schnittmenge haben, heissen disjunkt.

 

s) Von den Schülern einer Klasse spielen 6 kein Instrument. 10 Schüler spielen Violine und 7 spielen Klavier. Ferner gibt es 12 Flötenspieler in der Klasse, von denen alle mit Ausnahme von dreien noch mindestens ein weiteres Instrument spielen, nämlich 6 Violine und 5 Klavier. Von den Violinisten spielen 3 kein weiteres Instrument.

Wie viele Schüler...
1. ... zählt die Klasse?
2. ... spielen nur Klavier?
3. ... spielen alle 3 Instrumente?
4. ... spielen Violine und Klavier?
 

V = Violine, K = Klavier und F = Flöte

Hilfe zum Einzeichnen der Zahlen:

1) Wir schreiben 6 ausserhalb der 3 Mengen, weil 6 Schüler kein Instrument spielen (grün).
2) 3 Schüler spielen nur Flöte, also schreiben wir eine 3 in die Menge F (gelb).
3) 3 Schüler spielen nur Violine, also schreiben wir eine 3 in die Menge V (gelb).
4) Nun gibt es 9 Flötenspieler, die noch mindestens ein weiteres Instrument spielen. 6 spielen Violine und 5 Klavier. Das sind aber 11. Es gibt aber nur 9 Schüler und nicht 11. Das bedeutet, dass 2 sowohl Violine wie auch Klavier spielen müssen. Und da diese 2 ja auch noch Flötenspieler sind, gehört diese 2 in die Mitte, also in die Schnittmenge aller 3 Mengen (rot).
5) Nun zählen wir von den 6 Schülern, die Flöte und Violine spielen, die 2 weg, die auch noch Klavier spielen, und schreiben eine 4 in die Schnittmenge zwischen F und V (orange).
6) Dasselbe machen wir mit den 5 Klavier- und Flötenspielern. Wir zählen 2 weg und schreiben eine 3 in die Schnittmenge zwischen K und V (orange).
7) 10 Schüler spielen Violine. Wir wissen jetzt, dass davon 3 nur Violine spielen, 4 Violine und Flöte spielen und 2 Violine, Flöte und Klavier spielen. 10 - 3 - 4 - 2 = 1. Demzufolge muss 1 weiterer Schüler Violine und Klavier spielen (orange).
8) 7 Schüler spielen Klavier. Wir wissen jetzt, dass davon 1 auch Violine spielt, 3 auch noch Flöte spielen und 2 sogar alle 3 Instrumente spielen. 7 - 1 - 3 - 2 = 1. Das bedeutet, dass nur 1 Schüler ausschliesslich Klavier spielt (gelb).

Nun sind die Fragen ganz einfach:

1. Die Klasse zählt 23 Schüler. (einfach alle Zahlen zusammenzählen)
2. 1 Schüler spielt lediglich Klavier.
3. 2 Schüler spielen alle 3 Instrumente.
4. 3 Schüler spielen Violine und Klavier. (der eine Schüler, der nur Violine und Klavier spielt plus die 2, die alles spielen)

 

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