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Primfaktoren

der grösste gemeinsame Teiler

 

Was ist eine Primzahl?

Als Primzahl bezeichnet man eine Zahl, welche genau 2 Teiler hat (sich selbst und 1).

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Hier die kleinsten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, ...

ACHTUNG: 0 und 1 sind keine Primzahlen!


Die Primfaktorzerlegung

Jede natürliche Zahl kann man in ihre Primfaktoren zerlegen. (Sonderfall: Die Zahl 1.)
Die Zerlegung ist immer eindeutig.

Falls du nicht weisst, was eine "natürliche Zahl" ist:

Gleichungen


Beispiel

Zerlege die Zahl 378 in ihre Primfaktoren.

Du brauchst jetzt nichts weiter zu tun, als einen Primfaktor nach dem anderen zu entdecken. Wenn du den ersten Primfaktor gefunden hast, teilst du 378 durch diese Zahl und schreibst das Produkt der beiden Zahlen hin. Und so zerlegst du die zusammengesetzte Zahl immer weiter, bis sie nur noch aus Primfaktoren besteht. Das Schöne dabei ist, dass der schwierigste Teil der Anfang ist und das Ganze gegen Ende hin immer einfacher wird.

378  =  2 * 189  =  2 * 3 * 63  =  2 * 3 * 3 * 21  =  2 * 3 * 3 * 3 * 7

Um die Endzerlegung schöner darzustellen, kannst du die Potenzschreibweise verwenden:
378  =  2 * 3 * 3 * 3 * 7  =  2 * 33 * 7

Für die Reihenfolge der Zerlegung gibt es keine Regeln. Du kannst das machen, wie du möchtest. Am Anfang ist es jedoch empfehlenswert, gerade Zahlen solange durch 2 zu teilen, bis sie ungerade werden. So kannst du eine hohe Zahl möglicherweise schon zu Beginn erheblich verkleinern!
Du musst die Zerlegung jedoch nicht jedes Mal in 1er-Schrittchen machen. Wenn du zum Beispiel siehst, dass eine Zahl durch 10 teilbar ist, dann teile die Zahl zuerst durch 10. Anschliessend kannst du 10 immer noch als 2 * 5 hinschreiben.
Wenn dir die Ideen ausgehen und du nicht mehr siehst, durch was die gefragte Zahl noch teilbar sein könnte, probiere die Teilbarkeitsregeln aus!

Teilbarkeit

Der Schönheit halber schreiben wir die Primfaktoren am Schluss in der richtigen Reihenfolge auf: 2 * 33 * 7 anstatt 7 * 33 * 2.

 

Aufgaben

Zerlege folgende Zahlen in ihre Primfaktoren und benutze anschliessend die Potenzschreibweise!

a) 192

b) 72

c) 1050

d) 1116

 

Lösung