Drei SpezialfälleBeim Ausmultiplizieren von Summentermen gibt es 3 Spezialfälle, die es sich zu kennen lohnt! Man nennt sie "Binome". Diese solltest du auswendig können, denn sie werden dich auf deinem gesamten Weg bis zur Matura begleiten. Ausserdem profitierst du selbst davon, wenn du mit Binomen umzugehen weisst, da es dir viele Dinge erleichtert.
Es geht vor allem darum, dass du Binome erkennst und sie geschickt ausmultiplizieren kannst, ohne jedes Mal alles erneut durchzudenken. Binome gehören zu den typischen Standard-Fallen, die Mathematiklehrer auch in Zukunft immer wieder gerne einbauen werden!
Man spricht immer vom "ersten Binom", dem "zweiten Binom" und dem "dritten Binom". Merke dir deshalb gut, welches Binom welche Nummer trägt. So verstehst du immer, von welchem Binom gerade die Rede ist und verlierst nicht den Faden.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Herleitung: (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
In Worten: Wenn du einen Summenterm der Form (a +
b) quadrieren und ausmultiplizieren musst, erhältst du 3 Summanden:
Der erste Summand im Quadrat + das Doppelprodukt + den zweiten Summanden im
Quadrat.
Doppelprodukt = du multiplizierst zuerst die beiden Summanden miteinander und verdoppelst das Produkt anschliessend (= *2).
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Herleitung: (a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2
In Worten: Wenn du einen Summenterm der Form (a -
b) quadrieren und ausmultiplizieren musst, erhältst du 3 Summanden:
Der erste Summand im Quadrat - das Doppelprodukt + den zweiten Summanden im
Quadrat (hier hat es ein Plus, weil sich Minus mal Minus auflöst).
Für das Doppelprodukt gilt genau dasselbe wie beim 1. Binom. Diesmal ist es allerdings negativ, da jeweils einer der Faktoren ein Minus hat.
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Herleitung: (a + b) (a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2
In Worten: Wenn du zwei Summenterme der Form (a + b) und (a - b)
miteinander multiplizieren musst, erhältst du 2 Summanden:
Der erste Summand im Quadrat - den zweiten Summanden im Quadrat.
Doppelprodukt = 0, weil sich das positive Produkt der beiden Summanden und das negative gegenseitig aufheben!
TIPP: Wenn du von den 3 Binomen jetzt noch nicht so ganz überzeugt bist, setze anstatt a und b zwei Zahlen ein und spiele das Spiel in allen 3 Varianten durch. Spätestens dann vertraust du den Binömchen! *smile*