Das Ausmultiplizieren von Summentermen mit höheren Potenzen
Du hast nun gelernt, wie man (a + b)2 auf einfache Weise ausmultipliziert. Doch was machst du mit (a + b)3? Du könntest die Klammer drei mal hinschreiben und alles der Reihe nach ausrechnen, aber das wäre zeitaufwändig und kompliziert. Und spätestens bei (a + b)5 wird das Ganze viel zu unübersichtlich und schwierig. Deshalb gibt es das Pascalsche Dreieck!
Wie du bei (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 vielleicht schon bemerkt hast, nimmt der Exponent von a von vorne nach hinten jeweils um 1 ab. Der Exponent von b wächst hingegen bei jedem neuen Summanden um 1. Dies passiert ebenfalls in höheren Potenzen. Wenn du (a + b)4 ausmultiplizierst, erhältst du folgendes Gerüst:
(a + b)4 = ...a4(b0) + ...a3b(1) + ...a2b2 + ...a(1)b3 + ...(a0)b4 = ...a4 + ...a3b + ...a2b2 + ...ab3 + ...b4
Jetzt müssen die Lücken aber noch mit Zahlen gefüllt werden. Doch mit welchen?
Hier kannst du direkt die Zahlen ablesen, die du
brauchst! Du musst lediglich wissen, welche Potenz du brauchst.
Die Zahlen von (a + b)4 kannst du zum
Beispiel in der Zeile mit dem Grad 4 ablesen:
Die Pyramide ist sehr hilfreich und hilft dir,
eine Menge Zeit zu sparen! Das Beste an ihr ist, dass du sie nicht einmal
auswendig lernen musst, da die Zahlen ohne weiteres berechnet werden können. Du
brauchst dir nur einzuprägen, dass du an der Spitze mit einem Dreieck bestehend
aus drei Einsen beginnen musst. Danach kannst du jeweils 2 nebeneinander
liegende Zahlen zusammenzählen und ihre Summe in die nächst untere Reihe in ihre
Mitte schreiben. Und so weiter...
Dazu ist nicht einmal ein Spick nötig! *zwinker*
Wenn du nun die Zahlen aus der Reihe Nummer 4 gefunden hast, setzt du sie einfach ein und du bist fertig!
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Bei (a + b)4 tauchte das Vorzeichenproblem noch nicht auf, da kein Minus vorhanden war und deshalb auch kein Minus entstehen konnte. Doch wie multiplizierst du (a - b)4 aus?
Der Trick ist ganz einfach: Du überlegst zuerst,
zu welchem Summanden das Minus gehört. In unserem Fall gehört das Minus zum b.
Jetzt setzt du immer dort ein Minus, wo das b einen UNGERADEN Exponenten hat.
Denn ungerade Exponenten bedeuten, dass sich das Minus nicht auflöst.
Und Achtung, du darfst nur auf das b achten! Das Minus hat NICHTS mit dem a zu
tun!
(a - b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
(Bei b und bei b3 ist der Exponent ungerade!)