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Trinome ausmultiplizieren

Trinome faktorisieren

 

Inhalt

Was ist ein Trinom?
4 verschiedene Trinome
Hilfreiche Tipps
Aufgaben

Inhalt

 

Was ist ein Trinom?

Wenn du zwei Klammern mit je zwei Summanden ausmultiplizieren musst, gibt es neben den Binomen eine weitere Spezialsorte: die Trinome. Im Gegensatz zu den Binomen hast du jetzt nicht mehr zwei verschiedene Summanden, sondern drei! Trinome haben immer folgende Form:

Einzig die Vorzeichen können ändern.

Es gibt einen Summanden, der in beiden Klammern vorkommt. Die beiden anderen Summanden sind verschieden. Wenn sie nicht verschieden sind, ist es kein Trinom mehr, sondern ein Binom.
Die beiden unterschiedlichen Summanden (hier a und b) müssen jedoch dieselbe Einheit haben, sonst helfen uns die Trinome nicht weiter. Sie müssen addierbar und subtrahierbar sein. Meist handelt es sich um normale Zahlen.


Die 4 verschiedenen Trinome

Durch die unterschiedlichen Kombinationen der Vorzeichen gibt es 4 verschiedene Arten von Trinomen. Für die Erklärung ist wichtig, dass wir zuerst festlegen, ob a > b oder a < b gilt. a = b ist unmöglich, da es sonst kein Trinom wäre. Wir nehmen also an:

a > b   (Achtung, nicht vergessen!)
 

TIPP: Hier werden viele Operationsausdrücke zu finden sein. Falls du damit Mühe hast, schau dir zuerst folgende Seite kurz an:

Operationen


1. (x + a) (x + b)  =  x2 + bx + ax + ab  =  x2 + (a + b)x + ab

In Worten:
x2 = das Quadrat des gemeinsamen Summanden (der doppelt vorhanden ist in den Klammern)
(a + b)x = die Summe der beiden unterschiedlichen Summanden mit dem gemeinsamen Summanden multipliziert
ab = das Produkt der beiden unterschiedlichen Summanden
 

2. (x - a) (x - b)  =  x2 - bx - ax + (-a)(-b)  =  x2 - (a + b)x + ab

In Worten:
x2 = das Quadrat des gemeinsamen Summanden (der doppelt vorhanden ist in den Klammern)
-(a + b)x = ein Minus und die Summe der beiden unterschiedlichen Summanden mit dem gemeinsamen Summanden multipliziert
ab = das Produkt der beiden unterschiedlichen Summanden (da es 2 Minus sind, heben sie sich gegenseitig auf!)


3. (x + a) (x - b)  =  x2 - bx + ax - ab  =  x2 + (a - b)x - ab

In Worten:
x2 = das Quadrat des gemeinsamen Summanden (der doppelt vorhanden ist in den Klammern)
(a - b)x = die POSITIVE Differenz der beiden unterschiedlichen Summanden mit dem gemeinsamen Summanden multipliziert
-ab = das negative Produkt der beiden unterschiedlichen Summanden (negativ, weil einer ein Minus hat und der andere nicht)

HINWEIS: Die Differenz von a und b ist positiv, da wir zu Beginn festgelegt haben, dass a > b gilt.


4. (x - a) (x + b)  =  x2 + bx - ax - ab  =  x2 + (b - a)x - ab

In Worten:
x2 = das Quadrat des gemeinsamen Summanden (der doppelt vorhanden ist in den Klammern)
(b - a)x = die NEGATIVE Differenz der beiden unterschiedlichen Summanden mit dem gemeinsamen Summanden multipliziert
-ab = das negative Produkt der beiden unterschiedlichen Summanden (negativ, weil einer ein Minus hat und der andere nicht)

HINWEIS: Die Differenz von a und b ist diesmal negativ, da wir zu Beginn festgelegt haben, dass a > b gilt.


Hilfreiche Tipps

1. Jetzt war beim mittleren Summanden einmal die Rede von Summe und einmal von Differenz. Aber wann welches von beidem benutzen?

Ganz einfach - wenn du IN DEN KLAMMERN 2 gleiche Vorzeichen hast, nimmst du die Summe. Wenn die beiden Vorzeichen unterschiedlich sind, nimmst du die Differenz. Am besten stellst du dir das bildlich mit einer möglichst lustigen und dummen Geschichte vor, über welche du lachen kannst. So bleibt das am längsten in deinen Erinnerungen zurück! Hier ein Beispiel:

Wenn die beiden Klammern dasselbe Vorzeichen in der Mitte haben, sind sie Freunde, teilen alles und spannen zusammen. Deshalb addieren sich die beiden unterschiedlichen Summanden.
Wenn die beiden Klammern aber verschiedene Vorzeichen haben, haben sie Krieg. Sie bekämpfen sich gegenseitig und vernichten einander. Somit bleibt nur noch eine Differenz übrig. *smile*

 

2. Einmal ist die Differenz positiv und einmal ist sie negativ. Wieso und wann welches von beidem?

Bei einer Differenz hast du nur EIN Minus in den Klammern. Die beiden Vorzeichen, ein Plus und ein Minus, stehen jeweils vor den beiden Summanden, die einmalig sind, also unterschiedlich. Wir betrachten jetzt die beiden Summanden HINTER den Vorzeichen. Wenn der grössere Summand der beiden hinter dem Plus steht, ist die Differenz positiv. Wenn der grössere Summand hingegen beim Minus zu finden ist, ist die Differenz negativ. Hierzu wieder unser Kriegsgeschichtchen:

Wie gesagt, die beiden Klammern haben Krieg. Sie kämpfen und vernichten sich. Logischerweise gewinnt derjenige, der die stärkere Armee mit den meisten Soldaten hat. Wenn also die Plus-Armee stärker ist (= grössere Zahl), gewinnt die Plus-Klammer. Wenn aber die Minus-Armee besser ist (= grössere Zahl), ist die Minus-Klammer der Sieger. *smile*

 

3. Wann ist das Produkt "ab" der beiden unterschiedlichen Summanden positiv und wann negativ?

Das hängt wieder von den Klammern ab. Wenn du IN DEN KLAMMERN 2 gleiche Vorzeichen hast (egal ob Plus oder Minus, sie müssen einfach gleich sein!), erhältst du ein positives Produkt.
Wenn du IN DEN KLAMMERN aber 2 verschiedene Vorzeichen vorfindest, wird das Produkt negativ.

 

Aufgaben

Entscheide zuerst, um welches Trinom es sich jeweils handelt, wo du eine Summe/Differenz benötigst und wo es welche Vorzeichen hat und multipliziere dann aus!

a) (3 + 2) (3 + 12)

b) (a + 3) (a - 9)

c) (-n + m) (m - 6)

d) (2x - 7) (30 + 4x)

 

Lösung

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