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Binome faktorisieren

Binome ausmultiplizieren

 

Inhalt

Vermutung auf ein Binom
1.Binom
2.Binom
3.Binom
Aufgaben

Inhalt

 

Die Vermutung auf ein Binom

(Erklärung Binom: siehe "Binome ausmultiplizieren")

Wenn ein vorliegender Summenterm 2 reine Quadratterme enthält, steckt mit ziemlicher Sicherheit ein Binom dahinter! Also musst du zuerst immer nach Quadraten Ausschau halten. Ohne Quadrate gibt es kein Binom!
Doch um welches der 3 Binome handelt es sich und wie können wir überprüfen, ob wir es tatsächlich mit einem von ihnen zu tun haben?

(Wir sprechen hier wieder vom "ersten Binom", dem "zweiten Binom" und dem "dritten Binom".)


Das 1. Binom

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Für das 1. Binom benötigst du 2 reine Quadrate und einen dritten Summanden. Es darf KEIN Minus vorhanden sein zwischen diesen 3 Summanden!

Aufgrund dieser Feststellungen nimmst du an, es handelt sich um das 1. Binom. Jetzt wurzelst du die beiden Quadrate und schreibst sie als Summenterm hin. Du machst eine Klammern darum und setzt diese ins Quadrat. Jetzt hast du (a + b)2.
Nun musst du deine Vermutung jedoch überprüfen. Da die beiden Quadrate bereits stimmen müssen, weil dies die Voraussetzung für unsere Annahme war, schreiten wir zum Doppelprodukt über. Du rechnest an dieser Stelle das Doppelprodukt von a und b aus (2ab) und vergleichst dein Ergebnis mit dem ursprünglichen Summanden. Wenn die beiden übereinstimmen, hast du das Binom erfolgreich entlarvt!

Doppelprodukt = du multiplizierst zuerst die beiden Summanden miteinander und verdoppelst das Produkt anschliessend (= *2).


Das 2. Binom

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Für das 2. Binom benötigst du 2 reine Quadrate und einen dritten (negativen) Summanden. Die Quadrate müssen jedoch positiv sein!

Aufgrund dieser Feststellungen nimmst du an, es handelt sich um das 2. Binom. Jetzt wurzelst du die beiden Quadrate und schreibst sie als Differenzterm hin. Du machst eine Klammer darum und setzt diese ins Quadrat. Jetzt hast du (a - b)2.
Nun musst du deine Vermutung jedoch überprüfen. Da die beiden Quadrate bereits stimmen müssen, weil dies die Voraussetzung für unsere Annahme war, schreiten wir zum (negativen) Doppelprodukt über. Du rechnest an dieser Stelle das Doppelprodukt von a und b aus (-2ab) und vergleichst dein Ergebnis mit dem ursprünglichen Summanden. Wenn die beiden übereinstimmen, hast du das Binom erfolgreich entlarvt!

Für das Doppelprodukt gilt genau dasselbe wie beim 1. Binom. Diesmal ist es allerdings negativ, da jeweils einer der Faktoren ein Minus hat.


Das 3. Binom

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

Für das 3. Binom benötigst du nur 2 reine Quadrate, wovon jeweils eines positiv und eines negativ sein muss!

Wenn diese Voraussetzungen gegeben sind, kann es sich nur noch um ein 3. Binom handeln! Und du kannst auch nicht mehr falsch liegen, denn hier existiert kein Doppelprodukt, auf das wir achten müssen. Du wurzelst nun die beiden Quadrate und schreibst sie einmal als Summenterm und einmal als Differenzterm hin. Die Klammern nicht vergessen! Jetzt hast du (a + b) (a - b).

Doppelprodukt = 0, weil sich das positive Produkt der beiden Summanden und das negative gegenseitig aufheben!

 

Aufgaben

Entscheide zuerst, um welches Binom es sich jeweils handelt und faktorisiere anschliessend!

a) x2 - 25

b) a4 + 8a2b3 + 16b6

c) 4x2 - 15x + 9

d) 64 - 49

 

Lösung

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