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Teilmengen

Mächtigkeit

 

Inhalt

Was ist eine Menge?
Teilmenge
Schnittmenge
Vereinigungsmenge
Differenzmenge
Komplementärmenge
Kombinationen
Verschiedene Beschreibungen
Disjunkte Mengen
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz

Inhalt

 

Was ist eine Menge?

Wenn wir gewisse unterscheidbare Objekte zu einem Ganzen zusammenfassen, dann heisst dieses Ganze eine Menge. Die einzelnen Objekte nennen wir Elemente dieser Menge.

Hier siehst du die Menge A, in welcher sich 4 Elemente befinden.

= G (den ganzen grünen Kasten nennen wir die Grundmenge G)

Um zu beschreiben, dass ein Element a zu einer Menge A gehört, schreibt man . Wenn ein Element a nicht zu einer Menge A gehört, schreibt man .
Bei der Menge A, die du im Bild (oben) siehst, ist zum Beispiel der hellblaue Ball ein Element von A. Der rote Ball hingegen ist kein Element von A, weil er sich ausserhalb befindet.

Um eine Menge mit ihren Elementen zu notieren, benutzen wir immer die Mengenklammern {}. Es gibt 2 Arten, die Elemente einer Menge aufzuschreiben: die aufzählende Form und die beschreibende Form. Zur Erklärung hier das Beispiel der Menge "die Teiler von 24":

Aufzählende Form: T24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}

Beschreibende Form: T24 = {x l x ist Teiler von 24}   (der Strich l bedeutet: "für die gilt")

 

Die Teilmenge

Wenn jedes Element einer Menge A auch ein Element der Menge B ist, dann heisst A Teilmenge von B.
Wir schreiben .

 

Die Schnittmenge

Die Schnittmenge umfasst alle Elemente, die sich sowohl in der Menge A, wie auch in der Menge B befinden. Es ist derjenige Teil, in dem sich die beiden Kreise überschneiden. (hier orange)

Wir schreiben:  = {x l x A und x B}

 

Die Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge umfasst alle Elemente, die sich in der Menge A oder in der Menge B befinden. Die Elemente, die sich in A und in B befinden, sind natürlich auch inbegriffen. Die Vereinigungsmenge ist hier rot eingefärbt:

Wir schreiben: = {x l x A oder x B}

TIPP 1: "oder" ist immer einschliessend, das heisst die Schnittmenge gehört auch dazu. Wenn das nicht gewünscht ist, dann muss "entweder ... oder" stehen.

TIPP 2: Wenn du dir nicht merken kannst, welches Zeichen "geschnitten" und welches Zeichen "vereinigt" bedeutet, kannst du dir das so vorstellen:
sieht aus wie der Buchstabe U. Also kannst du dir merken: U = Und = vereinigt, denn "A vereinigt mit B" bedeutet "die Menge A UND die Menge B".
Somit steht für N = geschNitten.

 

Die Differenzmenge

Die Differenzmenge umfasst alle Elemente, die zu einer Menge A gehören, aber nicht zu einer Menge B. Die Schnittmenge ist nicht inbegriffen. Die Differenzmenge ist hier rot eingefärbt:

Wir schreiben: = "A ohne B" = {x l x A und x B}

 

Die Komplementärmenge (=Komplementmenge)

Die Komplementärmenge umfasst alle Elemente, die nicht zu der Menge A gehören. Also die gesamte Grundmenge G ohne die Menge A. Die Komplementärmenge ist hier grün eingefärbt:

Wir schreiben: = {x l x A}

 

Kombinationen

Wie stellst du nun aber dar?

Dies ist ein Mix aus 3 verschiedenen Arten von Teilmengen: Du hast eine Komplementärmenge, 2 Vereinigungsmengen und eine Differenzmenge. Weil du A, B und C hast, weisst du, dass es 3 Mengen geben muss. Das sieht so aus:

Nun nehmen wir das Ganze auseinander. Zuerst schauen wir uns an, was  ist, dann nehmen wir  unter die Lupe und am Schluss vereinigen wir die beiden Teilmengen miteinander.

Wenn wir haben, malen wir das gesamte A und das gesamte B an. Da wir nun aber haben, malen wir genau das Gegenteil an, nämlich alles, was NICHT zu A oder B gehört: (hier gelb)

bedeutet "C ohne A". Dazu gehört alles, was in C liegt, aber nicht in A. (hier rot)

In der Mitte der beiden Teilmengen haben wir ein . Das bedeutet, dass wir sie miteinander vereinigen müssen. Also malen wir alles an, was wir entweder bei oder bei angemalt haben. (hier orange)

Das wäre bereits die Lösung von und wir sind fertig.

 

Verschiedene Beschreibungen

Beim Beispiel, welches wir soeben gelöst haben, gibt es eine ganz klar vorgegebene Lösung. Und zwar nur EINE Lösung.
Wenn wir das Ganze jedoch anders herum machen und nach der Beschreibung einer bestimmten Teilmenge suchen, kann es durchaus sein, dass es mehrere Möglichkeiten gibt. Hier ein Beispiel:

Und hier 3 mögliche Beschreibungen für diese Teilmenge:

= Die Schnittmenge von A und B ohne C.

= Die Schnittmenge von A und B geschnitten mit allem, was nicht zu C gehört.

= "A ohne C" geschnitten mit "B ohne C".

Denke zunächst schrittweise alle 3 Möglichkeiten für dich durch und versuche anschliessend eine eigene zu finden!

 

Disjunkte Mengen

Zwei Mengen heissen disjunkt (=elementfremd), wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen.

Für 2 disjunkte Mengen gilt folgendes:

= {}   (kein Element ist in der Schnittmenge von A und B = A und B haben KEINE Schnittmenge)

A \ B = A   (A ohne B ist immer noch A)

B \ A = B   (B ohne A ist immer noch B)

 

Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Wo darf man bei den verschiedenen Arten von Teilmengen die beiden Mengen vertauschen?

1. ist dasselbe wie , denn es gibt nur eine Schnittmenge zwischen 2 Mengen.

2. ist dasselbe wie , denn es gibt nur eine Vereinigungsmenge von 2 Mengen.

3. ist NICHT dasselbe wie , denn "A ohne B" und "B ohne A" ist nicht dasselbe.

TIPP: und bedeuten ebenfalls NICHT dasselbe, denn wenn A eine Teilmenge von B ist, muss B nicht auch eine von A sein.

Also gilt das Kommutativgesetz nur für die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge.

 

Das Assoziativgesetz (Klammergesetz)

Wo sind die Klammern wichtig und wo sind sie egal? Das heisst wo spielt die Reihenfolge der Ausführung eine Rolle?

1. A ( B C ) ist dasselbe wie ( A B ) C, denn 3 Mengen haben nur eine gemeinsame Schnittmenge.

2. A ( B C ) ist dasselbe wie ( A B ) C, denn 3 Mengen haben nur eine gemeinsame Vereinigungsmenge.

3. A \ ( B \ C ) ist NICHT dasselbe wie ( A \ B ) \ C. Bei Unklarheit die beiden Versionen am besten auf ein Blatt Papier zeichnen!

TIPP: A   B C würde bedeuten, dass alle 3 Mengen ineinander verschachtelt wären. Hier sind Klammern jedoch sinnlos!

Also gilt das Assoziativgesetz wiederum nur für die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge.

 

Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Um zu veranschaulichen, was das Distributivgesetz sein soll, hier ein Beispiel:

a * (b + c) = a * b + a * c

Gilt das nun auch für die verschiedenen Teilmengen?

 

1. A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) ?

Zuerst betrachten wir A ( B C ): Wir vereinen zuerst B und C und schneiden das Ganze dann mit A.

Dann betrachten wir ( A B ) ( A C ): Wir schneiden zuerst A und B, sowie A und C und vereinen zum Schluss die beiden entstandenen Schnittmengen.

Auf beiden Bildern ist nun genau der gleiche Teil markiert. Das bedeutet, das Distributivgesetz gilt!

Also ist A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) korrekt.

 

2. Wir können das Ganze auch umkehren: A ( B C ) = ( A B ) ( A C )  ist ebenfalls richtig. Wenn du das testen möchtest, versuche beide Varianten aufzuzeichnen und du wirst sehen, dass du die selben Teilmengen einfärbst!

 

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