Teilmengen |
Wenn wir gewisse unterscheidbare Objekte zu einem Ganzen zusammenfassen, dann heisst dieses Ganze eine Menge. Die einzelnen Objekte nennen wir Elemente dieser Menge. Hier siehst du die Menge A, in welcher sich 4 Elemente befinden.
Um zu beschreiben, dass ein Element a zu einer Menge A gehört,
schreibt man
Um eine Menge mit ihren Elementen zu notieren, benutzen wir immer die Mengenklammern {}. Es gibt 2 Arten, die Elemente einer Menge aufzuschreiben: die aufzählende Form und die beschreibende Form. Zur Erklärung hier das Beispiel der Menge "die Teiler von 24": Aufzählende Form: T24 = {1,2,3,4,6,8,12,24} Beschreibende Form: T24 = {x l x ist Teiler von 24} (der Strich l bedeutet: "für die gilt")
Wenn jedes Element
einer Menge A auch ein Element der Menge B ist, dann heisst A Teilmenge von B.
Die Schnittmenge umfasst alle Elemente, die sich sowohl in der Menge A, wie auch in der Menge B befinden. Es ist derjenige Teil, in dem sich die beiden Kreise überschneiden. (hier orange)
Wir schreiben:
Wir schreiben:
TIPP 1: "oder" ist immer einschliessend, das heisst die Schnittmenge gehört auch dazu. Wenn das nicht gewünscht ist, dann muss "entweder ... oder" stehen.
TIPP 2: Wenn du dir nicht merken kannst, welches Zeichen
"geschnitten" und welches Zeichen "vereinigt" bedeutet, kannst du dir das so
vorstellen:
Die Differenzmenge umfasst alle Elemente, die zu einer Menge A gehören, aber nicht zu einer Menge B. Die Schnittmenge ist nicht inbegriffen. Die Differenzmenge ist hier rot eingefärbt:
Wir schreiben:
Wir schreiben:
Wie stellst du nun aber
Dies ist ein Mix aus 3 verschiedenen Arten von Teilmengen: Du hast eine Komplementärmenge, 2 Vereinigungsmengen und eine Differenzmenge. Weil du A, B und C hast, weisst du, dass es 3 Mengen geben muss. Das sieht so aus:
Nun nehmen wir das Ganze auseinander. Zuerst schauen wir uns
an, was Wenn wir
In der Mitte der beiden Teilmengen haben wir ein
Das wäre bereits die Lösung von
Beim Beispiel, welches wir soeben gelöst haben, gibt es eine
ganz klar vorgegebene Lösung. Und zwar nur EINE Lösung.
Denke zunächst schrittweise alle 3 Möglichkeiten für dich durch und versuche anschliessend eine eigene zu finden!
Zwei Mengen heissen disjunkt (=elementfremd), wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen.
Für 2 disjunkte Mengen gilt folgendes:
A \ B = A (A ohne B ist immer noch A) B \ A = B (B ohne A ist immer noch B)
Wo darf man bei den verschiedenen Arten von Teilmengen die beiden Mengen vertauschen? 1.
2.
3.
TIPP:
Also gilt das Kommutativgesetz nur für die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge.
Wo sind die Klammern wichtig und wo sind sie egal? Das heisst wo spielt die Reihenfolge der Ausführung eine Rolle? 1. A
2. A
3. A \ ( B \ C ) ist NICHT dasselbe wie ( A \ B ) \ C. Bei Unklarheit die beiden Versionen am besten auf ein Blatt Papier zeichnen! TIPP: A
Also gilt das Assoziativgesetz wiederum nur für die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge.
Um zu veranschaulichen, was das Distributivgesetz sein soll, hier ein Beispiel: a * (b + c) = a * b + a * c Gilt das nun auch für die verschiedenen Teilmengen?
1. A
Zuerst betrachten wir A
Dann betrachten wir ( A
Auf beiden Bildern ist nun genau der gleiche Teil markiert. Das bedeutet, das Distributivgesetz gilt! Also ist A
2. Wir können das Ganze auch umkehren: A
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