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Lösung

Gleichungen und Ungleichungen

Addition und Subtraktion

 

 

a)   b)  

 

 

a) Zunächst faktorisieren und das kgV aller Nenner hinschreiben:

Jetzt überlegen wir, wann einer der Faktoren 0 sein kann:

x ist 0 wenn x = 0.
(x + 4) ist 0 wenn x = -4.
(x - 4) ist 0 wenn x = 4.

Diese 3 Zahlen gehören nun auf die "verbotene Liste": x {-4; 0; 4}

Anschliessend rechnen wir das Ganze aus:

(5x + 1)(x + 4) - 3x (x + 4) = 2 (x2 + 2x + 12)   / ausmultiplizieren

5x2 + 21x + 4 - 3x2 - 12x = 2x2 + 4x + 24   / zusammenfassen

2x2 + 9x + 4 = 2x2 + 4x + 24   / -2x2 - 4x - 4

5x = 20   / :5

x = 4

Aber ACHTUNG: 4 taucht in der "verbotenen Liste" auf! Das heisst, die Lösung ist UNMÖGLICH. Die Gleichung hat demzufolge KEINE LÖSUNG.

 

b) Zuerst wieder faktorisieren und das kgV aller Nenner suchen:

Definitionsbereich: (Fallunterscheidung)

1. Fall:   6 (2x + 3)(2x - 3) > 0   (positiv)

2. Fall:   6 (2x + 3)(2x - 3) < 0   (negativ)

Verbotene Stellen:

6 ist nicht 0 und wird auch nie 0!
(2x + 3) ist 0 wenn x = -1.5.
(2x - 3) ist 0 wenn x = 1.5.

Da wir diesmal mehrere verbotene Werte haben, verläuft das Einzeichnen der Pfeile etwas anders. Wir zeichnen zuerst beide Zahlenstrahle hin, markieren die verbotenen Stellen und suchen uns dann einen Probewert aus (darf kein verbotener Wert sein!).

Nehmen wir den Wert 0 zum Testen. Diesen setzen wir nun in das kgV ein, um herauszufinden, ob es positiv oder negativ wird.

6 (2*0 + 3)(2*0 - 3) = 6 * 3 * (-3) = -54, also negativ. Das heisst, der Wert 0 muss auf dem unteren Zahlenstrahl liegen, da auf dem 2. Zahlenstrahl alle jene Zahlen markiert sind, die ein negatives kgV erzeugen. Nun lautet die Regel:

"Bei jedem verbotenen Wert ungeraden Grades muss der Pfeil den Strahl wechseln."

"Ungeraden Grades" bedeutet, dass alle x, x3 ,x5 und so weiter... gemeint sind. Wenn im kgV ein x2 zu finden ist, ist 0 zwar eine verbotene Stelle, aber der Pfeil würde den Strahl bei 0 nicht wechseln! Da bei dieser Aufgabe aber nur verbotene Stellen ersten Grades zu finden sind, haben wir dieses Problem nicht. So zeichnen wir die Pfeile korrekt ein:

Jetzt können wir die Ungleichung auflösen in der Annahme, dass das kgV positiv ist. Um anschliessend auch den 2. Fall abzudecken, müssen wir lediglich ganz am Schluss das Ungleichheitszeichen drehen.

2 (2x - 3)2 - 60 + 3 (2x + 3)2 < 5 (2x + 3)(2x - 3)   / ausmultiplizieren

8x2 - 24x + 18 - 60 + 12x2 + 36x + 27 < 20x2 - 45   / zusammenfassen

20x2 + 12x - 15 < 20x2 - 45   / - 20x2 + 15

12x < -30   / :12

x < -2.5

 

Lösungsmenge:

1. Fall   x < -2.5   (Wenn wir das Ungleichheitszeichen NICHT gedreht haben.)

2. Fall   x > -2.5   (Wenn wir das Ungleichheitszeichen gedreht haben.)

Wenn wir diese beiden Ergebnisse nun mit den Pfeilen des Definitionsbereiches vergleichen, ergibt das folgende Schluss-Lösung:

   x < -2.5 -1.5 < x < 1.5

 

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