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das kleinste gemeinsame Vielfache

Teilbarkeit

 

Was ist das kgV?

Zwei (oder mehr) verschiedene natürliche Zahlen haben immer ein kleinstes gemeinsames Vielfaches.
Dieses nennt man abgekürzt das "kgV".


Die Ermittlung des kgVs durch Betrachten der Vielfachen

Gesucht ist das kgV von 36 und 60. Wir schreiben alle Vielfachen von 36 und 60 auf, bis wir eines finden, das bei beiden auftritt.

V36 = {36, 72, 108, 144, 180, ...}

V60 = {60, 120, 180, ...}

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 36 und 60 ist 180.


Die Ermittlung des kgVs durch Primfaktorzerlegung

Bei 36 und 60 ist es nicht so schwierig, das kgV durch Aufzählen aller Vielfachen zu finden. Doch alle Vielfachen von 359 aufzulisten, ist nicht mehr ganz so leicht und vor allem viel zu zeitaufwändig! Deshalb gibt es hier wie bei der Suche nach dem ggT auch eine weitere Variante, um dem kgV auf die Schliche zu kommen: die Primfaktorzerlegung.

36  =  4 * 9  =  22 * 32

60  =  6 * 10  =  2 * 3 * 2 * 5  =  22 * 3 * 5

Um das kgV zu bilden, sammeln wir nun alle Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zahlen vorkommen, und zwar immer in der höchsten vorkommenden Potenz.

2 und 3 treten jeweils maximal in der 2.Potenz auf. 5 ist nur in der 1.Potenz zu finden. Doch auch wenn die Zahl 5 in 36 nicht enthalten ist, gehört sie trotzdem ins kgV! Wir nehmen für das kgV demzufolge 22 * 32 * 5 = 180.

 

1.TIPP: Wenn 2 Zahlen A und B keine gemeinsamen Primfaktoren haben, ist das kgV = A * B.

2.TIPP: Das Ganze kannst du auch bei 3 oder mehr Zahlen anwenden, um ihr kgV zu finden.

3.TIPP: Die Unterschiede zum ggT:

a) Für das kgV nimmst du ALLE vorkommenden Primfaktoren, auch wenn sie nicht in beiden Zahlen auftreten. Für den ggT nimmst du nur diejenigen, die in BEIDEN Zahlen zu finden sind.

b) Für das kgV benötigst du jeweils die HÖCHSTE vorkommende Potenz jedes Primfaktors. Für den ggT nimmst du hingegen immer die KLEINSTE auftretende Potenz.

 

Aufgaben

Ermittle das kgV jeweils mit Hilfe der Primfaktorzerlegung. Wenn du dem Resultat nicht traust, darfst du es gerne durch das Aufzählen der Vielfachen kontrollieren. Aber das wird hier nicht verlangt.

a) kgV von 18 und 30

b) kgV von 6 und 12

c) kgV von 15 und 8

d) kgV von 28, 70, 98 und 108

 

Lösung