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Trinome faktorisieren

Trinome ausmultiplizieren

 

Inhalt

Vermutung auf ein Trinom
4 verschiedene Trinome
Beispiel
Aufgaben

Inhalt

 

Die Vermutung auf ein Trinom

(Erklärung Trinom: siehe "Trinome ausmultiplizieren")

Wenn ein vorliegender Summenterm NUR EINEN reinen Quadratterm enthält und der Rest beinahe wie ein Binom aussieht, können wir ein Trinom dahinter vermuten! Aber Achtung, ein Quadrat ist notwendig, sonst gibt es kein Trinom!
Doch um welche der 4 verschiedenen Arten von Trinomen handelt es sich und wie können wir überprüfen, ob wir es tatsächlich mit einer von ihnen zu tun haben?


Die 4 verschiedenen Trinome

Ein ausmultipliziertes Trinom hat immer folgende Form:

Beim Faktorisieren müssen wir die 4 verschiedenen Arten schrittweise unterscheiden. Was jedoch feststeht, sind die beiden Klammern. Und vorne in jede Klammer schreiben wir das gewurzelte Quadrat. Wir gehen also von folgender Ausgangslage aus:

(x     ) (x     )

Ausserdem nehmen wir erneut an:  a > b  (Achtung, nicht vergessen!)

Nun stellen wir uns der Reihe nach diese 2 Fragen:

 

1. Ist das PRODUKT positiv oder negativ?

a) positiv:
Die beiden Klammern haben also dasselbe Vorzeichen. Entweder werden beide ein Minus haben oder beide ein Plus. Dies bedeutet, dass das ausmultiplizierte Trinom in der Mitte eine SUMME hat. Somit suchen wir nun 2 Zahlen, welche multipliziert das vorgegebene Produkt ergeben und addiert die entsprechende Summe. Aber wie findest du diese 2 Zahlen?
Du zählst einfach der Reihe nach alle möglichen Zahlenpaare auf, welche multipliziert das gefragte Produkt ergeben. Nun überprüfst du jedes Mal, ob die beiden Zahlen addiert auch die richtige Summe ergeben. Und sobald dies zutrifft, hast du die Zahlen gefunden!
Weiter geht's beim nächsten a).

b) negativ:
Die beiden Klammern haben unterschiedliche Vorzeichen. Eine Klammer hat ein Minus, die andere ein Plus. Du kannst also direkt ergänzen: (x +   ) (x -   )
Dies heisst, dass das ausmultiplizierte Trinom in der Mitte eine DIFFERENZ hat. Somit suchen wir jetzt 2 Zahlen, welche multipliziert das vorgegebene Produkt ergeben und die entsprechende Differenz besitzen. Diese 2 Zahlen findest du auf die genau gleiche Weise wie schon zuvor die Summe. Siehe vorangehendes a).
Weiter geht's beim nächsten b).

TIPP: Wenn du bei a) oder bei b) kein solches Zahlenpaar findest, welches die Bedingungen erfüllt, gilt der Term als NICHT FAKTORISIERBAR.

 

a) 2. Ist die SUMME positiv oder negativ?

positiv:
In beiden Klammern hat es ein Plus in der Mitte. Die Zahlen haben wir ja bereits herausgefunden. Wo wir welche Zahl einsetzen, spielt keine Rolle, da sowieso beide Klammern positiv sind. Wir haben es also mit folgendem Trinom zu tun:

x2 + (a + b)x + ab  =  (x + a) (x + b)

negativ:
In beiden Klammern hat es ein Minus in der Mitte. Die Zahlen haben wir ja bereits herausgefunden. Wo wir welche Zahl einsetzen, spielt keine Rolle, da sowieso beide Klammern negativ sind. Wir haben es also mit folgendem Trinom zu tun:

x2 - (a + b)x + ab = (x - a) (x - b)

 

b) 2. Ist die DIFFERENZ positiv oder negativ?

positiv:
Von den beiden Zahlen, welche wir herausgefunden haben, schreiben wir die GRÖSSERE in die Klammer mit dem Plus. Wir haben es mit folgendem Trinom zu tun:

x2 + (a - b)x - ab = (x + a) (x - b)

negativ:
Von den beiden Zahlen, welche wir herausgefunden haben, schreiben wir die KLEINERE in die Klammer mit dem Plus. Wir haben es mit folgendem Trinom zu tun:

x2 + (b - a)x - ab =  (x - a) (x + b) 


Ein Beispiel

Faktorisiere a2 - 29a + 120.

Wir wurzeln das Quadrat und tragen es in die Klammern ein. Ausgangslage: (a     ) (a     )
 

1. Ist das PRODUKT positiv oder negativ?

a) positiv:
Die beiden Klammern haben also dasselbe Vorzeichen. Gesucht ist eine SUMME. Wir wollen nun ein Zahlenpaar, welches multipliziert 120 ergibt und addiert 29. Wir gehen nun systematisch alle Zahlenpaare durch, welche das Produkt 120 ergeben, und betrachten ihre Summe:

1 * 120   Summe 121
2 * 60    Summe 62
3 * 40   Summe 43
4 * 30   Summe 34
5 * 24   Summe 29 und wir haben die beiden Zahlen gefunden!
 

a) 2. Ist die SUMME positiv oder negativ?

negativ:
In beiden Klammern hat es ein Minus in der Mitte. Wo wir unsere Zahlen einsetzen, spielt keine Rolle.

a2 - 29a + 120  =  (a - 5) (a - 24)

 

Aufgaben

Stelle dir der Reihe nach die beiden Fragen und entscheide, um welche Art von Trinomen es sich jeweils handelt. Faktorisiere!

a) a2 - 8a - 20

b) b2 - 10b + 24

c) c2 + 16c - 36

d) d2 + 16d + 36

e) e2 + 15e + 36

 

Lösung

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