Die Vermutung auf ein Trinom(Erklärung Trinom: siehe "Trinome ausmultiplizieren")
Wenn ein vorliegender Summenterm NUR EINEN reinen Quadratterm
enthält und der Rest beinahe wie ein Binom aussieht, können wir ein Trinom
dahinter vermuten! Aber Achtung, ein Quadrat ist notwendig, sonst gibt es kein
Trinom!
Doch um welche der 4 verschiedenen Arten von Trinomen handelt es sich und wie
können wir überprüfen, ob wir es tatsächlich mit einer von ihnen zu tun haben?
Ein ausmultipliziertes Trinom hat immer folgende Form:
Beim Faktorisieren müssen wir die 4 verschiedenen Arten schrittweise unterscheiden. Was jedoch feststeht, sind die beiden Klammern. Und vorne in jede Klammer schreiben wir das gewurzelte Quadrat. Wir gehen also von folgender Ausgangslage aus:
(x ) (x )
Ausserdem nehmen wir erneut an: a > b (Achtung, nicht vergessen!)
Nun stellen wir uns der Reihe nach diese 2 Fragen:
1. Ist das PRODUKT positiv oder negativ?
a) positiv:
Die beiden Klammern haben also dasselbe Vorzeichen. Entweder werden beide ein
Minus haben oder beide ein Plus. Dies bedeutet, dass das ausmultiplizierte
Trinom in der Mitte eine SUMME hat. Somit suchen wir nun 2 Zahlen, welche
multipliziert das vorgegebene Produkt ergeben und addiert die entsprechende
Summe. Aber wie findest du diese 2 Zahlen?
Du zählst einfach der Reihe nach alle möglichen Zahlenpaare auf, welche
multipliziert das gefragte Produkt ergeben. Nun überprüfst du jedes Mal, ob die
beiden Zahlen addiert auch die richtige Summe ergeben. Und sobald dies zutrifft,
hast du die Zahlen gefunden!
Weiter geht's beim nächsten a).
b) negativ:
Die beiden Klammern haben unterschiedliche Vorzeichen. Eine Klammer hat ein
Minus, die andere ein Plus. Du kannst also direkt ergänzen: (x + )
(x - )
Dies heisst, dass das ausmultiplizierte Trinom in der Mitte eine DIFFERENZ hat.
Somit suchen wir jetzt 2 Zahlen, welche multipliziert das vorgegebene Produkt
ergeben und die entsprechende Differenz besitzen. Diese 2 Zahlen findest du auf
die genau gleiche Weise wie schon zuvor die Summe. Siehe vorangehendes a).
Weiter geht's beim nächsten b).
TIPP: Wenn du bei a) oder bei b) kein solches Zahlenpaar findest, welches die Bedingungen erfüllt, gilt der Term als NICHT FAKTORISIERBAR.
a) 2. Ist die SUMME positiv oder negativ?
positiv:
In beiden Klammern hat es ein Plus in der Mitte. Die Zahlen haben wir ja bereits
herausgefunden. Wo wir welche Zahl einsetzen, spielt keine Rolle, da sowieso
beide Klammern positiv sind. Wir haben es also mit folgendem Trinom zu tun:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
negativ:
In beiden Klammern hat es ein Minus in der Mitte. Die Zahlen haben wir ja
bereits herausgefunden. Wo wir welche Zahl einsetzen, spielt keine Rolle, da
sowieso beide Klammern negativ sind. Wir haben es also mit folgendem Trinom zu
tun:
x2 - (a + b)x + ab = (x - a)
(x - b)
b) 2. Ist die DIFFERENZ positiv oder negativ?
positiv:
Von den beiden Zahlen, welche wir herausgefunden haben, schreiben wir die
GRÖSSERE in die Klammer mit dem Plus. Wir haben es mit folgendem Trinom zu tun:
x2 + (a - b)x - ab = (x + a) (x - b)
negativ:
Von den beiden Zahlen, welche wir herausgefunden haben, schreiben wir die
KLEINERE in die Klammer mit dem Plus. Wir haben es mit folgendem Trinom zu tun:
x2 + (b - a)x - ab = (x - a) (x + b)
Faktorisiere a2 - 29a + 120.
Wir wurzeln das Quadrat und tragen es in die
Klammern ein. Ausgangslage: (a ) (a
)
1. Ist das PRODUKT positiv oder negativ?
a) positiv:
Die beiden Klammern haben also dasselbe Vorzeichen. Gesucht ist eine SUMME. Wir
wollen nun ein Zahlenpaar, welches multipliziert 120 ergibt und addiert 29. Wir
gehen nun systematisch alle Zahlenpaare durch, welche das Produkt 120 ergeben,
und betrachten ihre Summe:
1 * 120 Summe 121
2 * 60 Summe 62
3 * 40 Summe 43
4 * 30 Summe 34
5 * 24 Summe 29 und wir haben die beiden Zahlen gefunden!
a) 2. Ist die SUMME positiv oder negativ?
negativ:
In beiden Klammern hat es ein Minus in der Mitte. Wo wir unsere Zahlen
einsetzen, spielt keine Rolle.
a2 - 29a + 120 = (a - 5) (a - 24)